il libro dà questa affermazione
Ogni moto centrale è necessariamente piano
Edit: Sostanzialmente un moto centrale è un moto che ha accelerazione sempre rivolta verso un certo punto $O$ che è detto centro del moto
Solo che io non ne capisco la dimostrazione!
Lui procede considerando il piano osculatore contente il punto $O$ dove sono orientate tutte le accelerazioni e il vettore velocità $v(t)$ nell'istante considerato.
Detto questo lui afferma che il piano allora in quell'istante conterrà anche la velocità relativa all'istante successivo, quindi $v(t+dt)$, che mi sembra ragionevolmente vero.
Poi afferma che
A partire da questo istante si ragiona allo stesso modo; e si è così tratti a concludere che il piano considerato contiene la velocità relativa ad un istante qualsiasi, e quindi tutta intera la traiettoria del moto
Che mi sembra un po una fesseria, basti pensare a una traiettoria sferica con accelerazione solo centripeta!
Poi dopo qualche altra considerazione da una dimostrazione analitica dicendo che
se $P$ è il punto dove si trova il corpo, $O$ il centro del moto e $v$ la velocità del corpo sappiamo che
$(P-O) \wedge v = c$
Supponendo $c!=0$ e sapendo che è ortogonale a entrambi quei vettori si conclude che
$c * (P-O) = 0$
di qui risulta che $P-O$ è costantemente perpendicolare a $c$, quindi il punto mobile $P$ giace sempre nel piano normale a $c$ condotto per $O$.
Che in un primo momento mi sembra più accettabile, ma poi tornando all'esempio del moto su una sfera mi pare non riesca a funzionare!
Qualcuno può aiutarmi a capire questo fatto?