Insieme vuoto

[GundamRX91]

devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme improprio di un generico insieme A:

$0 sube A$

pero' non so da dove partire...
Diciamo che so che un'insieme vuoto non ha elementi e che puo' essere visto come elemento di un generico insieme ($n$ sottoinsiemi possono essere considerati elementi dell'insieme stesso), ma non riesco ad arrivare alla dimostrazione richiesta. Probabilmente conosco i concetti ma ancora non riesco a collegarli.... suggerimenti???

PS. nel frattempo ci sto comunque pensando

[Gi8]

Sia $A$ un insieme generico.
Devi dimostrare che:
$AA x, $ $x in O/ rArr x in A$.
Detto in italiano: "Qualunque elemento appartenente all'insieme vuoto appartiene ad $A$"
Questa frase è vera o falsa? Perchè?

[GundamRX91]

Credo sia falsa perche' per definizione l'insieme vuoto non ha elementi se non se stesso come sottoinsieme improprio:

$ O/ := {x | x != x}$
$ O/ sube O/$

[GundamRX91]

Ci stavo pensando....

Allora supponiamo di avere un'insieme B che e' sottoinsieme di un generico insieme A, e se nessun elemento di A appartiene a B allora B e' un insieme vuoto, da cui posso dire che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme dell'insieme A.

Sempre che sia corretto provo a formalizzare il pensiero:

$(B sub A)(AA x in A => x notin B = O/ sube A)$

[j18eos]

Io ripenserei alle definizioni di sottoinsieme e di insieme vuoto.

[dissonance]

Mettiamola in modo più estremo.

($x \in \emptyset$) $=>$ ($"sta piovendo"$)

E' vera questa implicazione?

[j18eos]

A questo punto riporto la tabella della verità dell'implicazione per lasciar confrontare GundamRX91 con questo "brutto scherzo" (1) della logica e la seguente frase di Duns Scoto (2): Ex falso seguitur quodlibet (3)!

§§§

(1) Mi sia concesso!
(2) Credo che ci siano dei dubbi sull'autore!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

(3) Dal falso segue ogni cosa!

[GundamRX91]

Io ripenserei alle definizioni di sottoinsieme e di insieme vuoto.

un insieme B e' sottoinsieme di un'insieme A quando tutti gli elementi di B appartengono ad A:

$ B sube A$

in pratica abbiamo che l'insieme $B$ e' formato da $B = { AAx in A}$

L'insieme vuoto invece e' definito per non avere elementi: $O/ = { }$

Edit: non mi visualizza le parentesi graffe dell'insieme vuoto.... come si fa??
Edit 2: avevo sbagliato a scrivere....

[GundamRX91]

Mettiamola in modo più estremo.

($x \in \emptyset$) $=>$ ($"sta piovendo"$)

E' vera questa implicazione?

questa implicazione dovrebbe essere vera perche' l'enunciato "sta piovendo" e' vero a prescindere che $x$ appartenza o meno all'insieme vuoto $O/$

[GundamRX91]

Ci stavo pensando....

Allora supponiamo di avere un'insieme B che e' sottoinsieme di un generico insieme A, e se nessun elemento di A appartiene a B allora B e' un insieme vuoto, da cui posso dire che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme dell'insieme A.

Sempre che sia corretto provo a formalizzare il pensiero:

$(B sub A)(AA x in A => x notin B = O/ sube A)$

ma la frase in grassetto e' vera oppure no?