derivata seconda della delta di dirac

[ack6]

ragazzi cercando di fare la derivata distribuzionale seconda del seguente segnale e cioè cercando di calcolare:

$ D^2 [P_4 (t / 2-1) ] $

Dove P4 è la porta di ampiezza 4. mi viene un dubbio atroce subito dopo la derivata prima che mi risulta essere:

$ D^1 [P_4 (t / 2-1) ] = delta (t / 2+1)- delta (t / 2-3)$

a questo punto dovrei calcolare la derivata seconda dovrei calcolare le derivate delle $delta$ , la mia domanda è: le derivate delle due $ delta$ non sono nulle?

e quindi il risultato finale sarebbe zero.

[gugo82]

La derivata distribuzionale della \( \displaystyle \delta \) non è nulla.

Per provarlo, usiamo la definizione: prendiamo una funzione test $ \( \displaystyle \varphi$ \) e scriviamo:

\( \displaystyle \langle \text{D}\delta ,\varphi \rangle =-\langle \delta ,\varphi^\prime \rangle =-\varphi^\prime (0) \)

sicché \( \displaystyle \text{D} \delta \) non è la distribuzione nulla.

Ovviamente \( \displaystyle \text{D}\delta \) è qualcosa di non intuitivamente rappresentabile con facilità; di solito gli ingegneri usano come simbolo di \( \displaystyle \text{D}\delta \) una freccia (come quella usata per la \( \displaystyle \delta \) ) con uno zig-zag a metà dell'asticella.

[ack6]

Consideriamo il primo membro della derivata prima:

$ delta ( t/2 +1) $

questa non può essere vista come :

$ (: Ddelta,1 :) $ ?

e dunque essendo la derivata prima di 1 nulla si avrebbe:

$ delta ( t/2 +1) = 0 $

[gugo82]

No.

Per definizione la derivata di una distribuzione \( \displaystyle F \) è quella distribuzione \( \displaystyle G \) tale che per ogni test \( \displaystyle \varphi \in C_c^\infty \) risulta:

\( \displaystyle \langle G,\varphi \rangle =-\langle F,\varphi^\prime \rangle \) ;

la derivata si denota con \( \displaystyle \text{D} F \) , sicché la precedente si riscrive:

\( \displaystyle \langle \text{D} F,\varphi \rangle =-\langle F,\varphi^\prime \rangle \) .

Quindi, per sapere "come funziona" \( \displaystyle \text{D} \delta \) devi sapere come essa si comporta su tutti i test (non solo su qualcuno).

Inoltre, ricorda che la funzione \( \displaystyle 1 \) non è una funzione test, perchè essa non ha supporto compatto.

[ack6]

Quindi il risultato andrebbe indicato semplicemente così:



$ delta'(t/2+1) -delta'(t/2-3 ) $


o sbaglio ?

[gugo82]

Prima di conferme/smentite, mi chiarisci com'è definito \( \displaystyle P_4(\tfrac{t}{2} -1) \) : in particolare, chi sono il centro, l'ampiezza e l'altezza della porta?

[ack6]

Il segnale $ P_T (t- t_0) $ ha:

altezza $ 1 $

centro $ t_0 $

ampiezza $ T $

[gugo82]

Il segnale $ P_T (t- t_0) $ ha:

altezza $ 1 $

centro $ t_0 $

ampiezza $ T $

Quindi è qualcosa del tipo \( \displaystyle P_T (t-t_0)=\text{u} (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\text{u} (t-(t_0+\tfrac{T}{2})) \) con:

\( \displaystyle \text{u}(t)=\begin{cases} 0 &\text{, se $t<0$}\\ 1 &\text{, se $t\geq 0$}\end{cases} \)

gradino unitario?

In tal caso:

\( \displaystyle \text{D} P_T (t-t_0) =\delta (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\delta (t-(t_0+\tfrac{T}{2})) \)

\( \displaystyle \text{D}^2 P_T (t-t_0) =\delta^\prime (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\delta^\prime (t-(t_0+\tfrac{T}{2})) \)

se non mi inganno.
Però tieni presente che hai anche un \( \displaystyle \tfrac{1}{2} \) dentro l'argomento... Che però non capisco a cosa ti serva.

[ack6]

E' tutto corretto, ora ho capito, ti ringrazio molto mi sei stato di grande aiuto.

[ideas56]

seguendo la vostra discussione mi è sorto un dubbio. Sul libro di metodi (Codegone) c'e' scritto che

$ x(t)*delta'(t) = x(0)*delta'(t) - x'(0)*delta(t) $ dove x(t) è una test-funzione

che mi sembra un po discordante con la definizione data:

ovvero che

$ x(t)*delta'(t) = -x'(0) $


da dove esce quella formula ??

l' ho vista anche da altre parti ... ma non mi chiedo come possa derivare dalla definizione ..


Un saluto