se e solo se

[giaco]

volevo chiarimenti sul significato del connettivo "se e solo se" detto anche equivalenza usato sia in definizioni (cosa significa definire con se e solo se ) sia all'interno di una dimostrazione.
e' possibile fare qualche esempio ? grazie
provo a fornire alcuni esempi per far capire dove ho dubbi.

x = y + 1 sse y = x -1 per ogni x,y Naturali.
cosa significa ?
Che comunque scelgo x,y il primo menbro e vero assieme al secondo membro ?
Non ha molto senso .

Una funzione biiettiva tale che g(a) = b equivale f(b) = a per ogni a,b ? Mi sembra poco chiara ..
grazie

[AngelsEyes]

Guarda se questo link può esserti utile, di solito trovo wikipedia sempre chiara e completa.

http://it.wikipedia.org/wiki/Se_e_solo_se

[giaco]

ringrazio ma il link non mi ha risolto i dubbi , soprattutto quelli riportati. Se avete tempo , potete rispondermi con chiarezza grazie

[AngelsEyes]

x = y + 1 sse y = x -1 per ogni x,y Naturali.
cosa significa ?

l'equazione x = y + 1 se ci pensi è vera solo nel caso in cui
a) x e y sono numeri interi positivi (http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_naturale)
b) se y = x - 1 come puoi dedurre estraendo l'incognita y dall'equazione precedente

esempio:
6 = 5 + 1 se e solo se 5 = 6 - 1 (a destra e a sinistra dell'equazione devi avere un'uguaglianza)

[giammaria]

x = y + 1 sse y = x -1 per ogni x,y Naturali. Cosa significa ? Che comunque scelgo x,y il primo menbro e vero assieme al secondo membro ?

No: significa che se scegli x, y in modo che una della due sia vera, allora è vera anche l'altra. In altre parole: se x è 1 in più di y, allora y è 1 in meno di x e viceversa.
AngelsEyes, attento a come ti esprimi: non credo che tu veramente intendessi quello che hai scritto, e cioè che "l'equazione x = y + 1 se ci pensi è vera solo nel caso in cui x e y sono numeri interi positivi"

[simo90]

non so se mi esprimo in termini completamente corretti cmq il "se" implicazione indica una conseguenza il "se e solo se" coimplicazione indica una doppia conseguenza o una conseguenza all'indietro : da x=y+1 consegue che y=x-1 ma è vero anche il contrario: da y=x-1 consegue che x=y++1

[dreamager]

Da quel che capii al primo,
il se è solo se esprime una condizione necessaria che non può essere altrimenti, cioè A è vero solo ed unicamente nel caso in cui B è vero, non esiste una terza possibilità C che, se vera, implica la veridicità di A. Se B non è vero, non c'è modo per il quale A sia vero.

posso dire
$x=3$ se e solo se $x^2=9$ (non c'è nessun'altra possibilità, se un numero è uguale a 3, il suo quadrato è per forza 9)
ma è sbagliato se dico
$x^2=9$ se e solo se $x=3$ (infatti se ho come terza proposizione C: x=-3 dimostro che $x^2=9$, anche se $x≠3$) (un numero elevato alla seconda può ridare 9 senza necessariamente essere 3, perché anche -3 ha come quadrato 9)
viceversa posso dire
$x^2=9$ se e solo se $x=3$ $V$ (vel) $x=-3$ (perché un numero ha come quadrato 9 se e solo se è 3 o -3, non ci sono altre possibilità)


(scusate, forse non dovrei scrivere cose di cui non sono sicuro)

[giammaria]

No, dreamager: è giusta sola la tua terza affemazione, e contraddice la altre. Il concetto diventa più chiaro ed aderente al comune linguaggio se la parte preceduta dal "se" viene scritta per prima. Le tue prime due frasi, corrette, dovrebbero essere
- se $x=3$ allora $x^2=9$: niente "solo se" perchè il 9 è ottenibile anche da -3;
- solo se $x^2=9$ può succedere che sia $x=3$: ma non è detto che succeda.

[Raptorista]

Provo a fare un po' di chiarezza: come diceva simo90, il "se e solo se" indica una doppia implicazione logica, mentre il "se" indica un'implicazione singola; nel primo caso vale il contrario, nel secondo no. Passiamo a degli esempi:
Se un animale è un cane, allora ha quattro zampe (questa è una implicazione singola, perché è vero che un cane ha 4 zampe, ma non per forza che un animale a quattro zampe sia un cane)
Se un numero è pari, il suo quadrato è pari (questa è doppia implicazione, perché un quadrato perfetto pari non può essere il quadrato di un numero dispari, infatti è vera la proposizione inversa: un quadrato perfetto è pari se e solo se è quadrato di un numero pari).

[giaco]

vediamo se ho capito il concetto :
Il se e solo se è una doppia implicazione per cui dire ( A sse B) significa dire che A e B sono equivalenti.
da x^2 = 4 sse x = 2 o x=-2, in questo caso ha senso ppoicheè sono vere entrambe le inplicazioni, i due menbri sono equivalenti in particolare entrambi veri.
Ora definire invece con se e solo se cosa significa ?
vedi caso di funzione bigettiva f : A -->B , dove si vuole definire inversa g : B-->A cosi:
per ogni $ a in A , b in B $ si ha f(a) = b sse g(b) = a.

qui non ha senso chiedersi se i due membri a sinistra e destra del se solo se sono equivalenti ??
grazie