Consigli utili per calcolare la Trasformata di Fourier?

[DriveKnight]

Salve,
sto preparando metodi e vorrei crearmi un "riassunto" mentale di come calcolare la trasformata di Fourier di una funzione.

In generale mi è stato detto di cercare di evitare di utilizzare la formula generale, poichè comporta a calcoli lunghi e svantaggiosi. A meno che non ci sia la funzione caratteristica, in quel caso ci sono sempre dei calcoli abbastanza lunghi e noiosi ma è abbastanza diretta la cosa.

Nei vari altri casi è sempre meglio sfruttare le relazioni principali ( in esame avrò a disposizione le varie tabelle).

Ad esempio se ho un logaritmo in funzione ho trovato più veloce passare prima dallo scomporre per l'argomento del logaritmo e poi sfruttare la derivata prima. Dalla derivata mi rivolgo alle tabelle per la trasformata e metto tutto insieme.

Un altro esempio è quando mi trovo una funzione trigonometrica, qui ho trovato che è più semplice riscriverla per l'equivalente con l'esponente ( es: $ cos $ = $ Re((e^z + e^(-z))/2) $ )
Da cui separo per le $ e $ e calcolo con il teorema dei residui + lemma di Jordan.

Ha senso questo ragionamento?
Quale sarebbe il modus operandi in generale?
Grazie e cordiali saluti

[pilloeffe]

Ciao DriveKnight,

Quale sarebbe il modus operandi in generale?

Diciamo che in generale si usa la definizione (che fra l'altro non è univoca, ma può variare da testo a testo ed anche in base al contesto), ma non c'è un modus operandi standard che vada bene per tutti gli esercizi: dipende un po' dall'esercizio stesso...
In questo stesso forum puoi trovare diversi thread nei quali la trasformata di Fourier è stata calcolata in diversi modi, ad esempio qui, qui, qui e qui.

[DriveKnight]

Grazie, vuol dire che mi manca ancora molta pratica

Questo vale anche per le trasformate di Laplace e zeta vero? e inevitabilmente anche per gli esercizi di convoluzione?
In ogni modo nel mio corso le funzioni si svolgono più o meno come le ho descritte, un pattern c'è ma allora non mi ci devo fissare e concentrarmi sul capire

[pilloeffe]

Questo vale anche per le trasformate di Laplace e zeta vero? e inevitabilmente anche per gli esercizi di convoluzione?

Sì.

In ogni modo nel mio corso le funzioni si svolgono più o meno come le ho descritte, un pattern c'è ma allora non mi ci devo fissare e concentrarmi sul capire

Mi sembra un'ottima idea... Già qui sul forum di Analisi superiore puoi trovare diversi esercizi sulle trasformate zeta, di Laplace e di Fourier (con interessanti interventi non solo del sottoscritto, ma anche di altri). Poi se hai bisogno per un esercizio specifico siamo qua...