Round Lake

[axpgn]

La pesca sotto il ghiaccio è un popolare passatempo durante i lunghi inverni del Montana.
Recentemente due pescatori arrivati a Round Lake, che è perfettamente circolare, hanno posizionato le loro sedie esattamente in direzioni opposte rispetto al centro del lago, a due terzi dal centro e un terzo dalla riva.
Lo scopo di questa disposizione è far si che ognuno dei due abbia la stessa probabilità di pescare un pesce.
Più tardi, un terzo pescatore arriva.

Posto che i primi due arrivati non si sposteranno da dove si sono sistemati, è possibile porre una terza sedia in modo tale che i tre pescatori "controllino" aree di uguale dimensione?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Quand'e' che un punto del lago e' controllato da uno dei pescatori ?
Quando la distanza e' minore di quella degli altri 2 ?

[axpgn]

Sì

[giammaria]

Sì, è possibile, ma i calcoli sono abbastanza lunghi e comprendono anche un'equazione risolubile solo con metodi approssimati. Escludo che i oescatori abbiano voglia di farli stando su un lago ghiacciato e che poi abbiano gli strumenti necessari per portare nella realtà il risultato trovato; devono accontentarsi di una soluzione ad occhio.

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A,B sono i primi due pescatori; C è il terzo e per simmetria deve essere sull'asse di AB Le zone di competenza di ognuno sono separate dall'asse del segmento che li congiunge. In un disegno ben fatto vediamo che le tre zone sono circa uguali se $B hat A C$ è un po' meno di $pi/6$ e questa è la soluzione approssimativa.

[axpgn]

L'idea è buona ma occorre una dimostrazione più formale (dell'esistenza, non si richiedono calcoli )

[giammaria]

Giusto, anche se dubito che qualcuno ci pensi mentre è sul ghiaccio. Ma è un buon controllo da farsi dopo il ritorno a casa.

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Esamino cosa succede al variare di C sull'asse di AB. Pongo $r=1$ e misuro gli angoli in radianti.
Quando $B hatAC=pi/4$ gli assi di AC e BC si incontrano nel centro O e formano un angolo retto, quindi la zona $S_C$ di C è un quarto di cerchio, cioè $S_C=0,25 pi$.
Quando $B hat AC=0$ gli assi di AC e BC sono due rette parallele distanti $1/3$ da O e l'area di A è un segmento circolare. Detto $2 alpha$ l'angolo al centro corrispondente, abbiamo $cos alpha=1/3$ e
$S_A=1/2(2 alpha- sin 2 alpha)=alpha-1/2 2sin alpha cos alpha=arccos(1/3)-sqrt 8/3*1/3=0,917=0,292 pi$
Perciò $S_C=pi-2S_A=0,416 pi$
Riassumendo: quando $B hatAC$ varia da $0$ a$pi/4$, $S_C$ varia da $0,416 pi$ a $0,25 pi$ ed in questo intervallo c'è $S_C=1/3 pi$

[axpgn]

Yes, bravo

Riassumendo...

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Quando C si trova a centro lago ne controlla più degli altri due, quando invece si trova al vertice di un angolo retto con gli altri due, ne controlla meno (un quarto di cerchio).
Quindi quando C si sposta da questo punto verso il centro, per continuità, ci sarà un punto in cui si equivarrano le tre aree.