Il problema impossibile dei 3^k punti

[marcokrt]

Sperando di non alzare troppo il livello di difficoltà per questa sezione, propongo un problema che eleva su un piano superiore quello arcinoto dei Nove punti, rievocato da questo recente thread https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=12&t=238046.

Problema: Sia $k$ un generico numero intero, strettamente positivo, dato. Nello spazio (affine) Euclideo, si consideri la classica griglia (k-dimensionale) di $3^k$ punti, definita come $G_k:={0,1,2}^k$ e si dimostri che l'unico punto di $G_k$ da cui non è possibile partire per collegare tutti i suoi $3^k$ punti tramite una spezzata di lunghezza $\frac{3^k-1}{2}$ (cioè fatta di $\frac{3^k-1}{2}$ segmenti rettilinei consecutivi) è quello centrale della griglia $G_k$; vale a dire il punto di coordinate $(1,1,\ldots,1)$.

Per capirci:
- Se $k=1$, abbiamo banalmente tre punti allineati e li possiamo ovviamente collegare con un solo segmento rettilineo, purché si parta da uno dei due estremi, (0) o (2) (ma non certo dal punto di coordinata (1)).
- Se $k=2$, ci troviamo nelle condizioni del celebre problema dei $9$ punti e dunque ci serve una spezzata di lunghezza $4$, così già la figura che allego qui sotto mostra come il punto finale/iniziale è o in un angolo o al centro di un lato del quadrato $[0,2]\times[0,2]$ e tramite rotazioni è banale capire che tutti i punti della griglia tranne quello centrale vanno bene (l'inizio della poligonale può essere pensato come la sua fine e viceversa).


Dimostrare che questa proprietà vale in generale, per ogni $k \in \mathbb{Z}^+$, buon divertimento!

[Quinzio]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non so quanto sia comprensibile, in effetti gia' comprendere la soluzione per $k=3$ non e' banale, figurarsi per le dimensioni superiori. Ci sarebbe altro da spiegare...
Lascio un link alla soluzione $k=3$ con un modello 3D interattivo.
https://www.geogebra.org/calculator/zxyxvv6m

Prima di tutto bisogna mostrare un processo costruttivo (o induttivo) per generare i segmenti nella dimensione $k+1$ a partire dalla dimensione $k$.
Vi sono $2$ classi di segmenti nella dimensione $k>1$: nella prima classe c'e' solo il segmento omogeneo (SO) di estremi $(0, 0, ..., 0)- (3, 3, ...., 3)$ nella seconda classe ci sono tutti gli altri segmenti.
Questa distinzione nasce dal fatto che il SO della della prima classe NON fa parte di un triangolo assieme ad altri segmenti e quindi quando si percorre la spezzata va percorso per primo (o per ultimo).
Nella seconda classe invece ogni segmento fa parte di un triangolo di cui uno dei vertici e' $(0,0, ..., 0)$ e quando si percorre la spezzata il triangolo viene percorso partendo dall'origine $(0,0,..., 0)$, e ritornando all'origine, come se fosse un loop.
L'unica eccezione e' se si parte da un certo triangolo, in questo caso il triangolo non viene percorso interamente.

Torniamo al passaggio dalla dimensione $k$ alla $k+1$.
Nel passaggio dalla dimensione $k$ alla $k+1$, in cui la dimensione aggiunta e' l'ultima, il segmento della prima classe genera:
- un triangolo, ovvero 3 segmenti a triangolo di coordinate $(0,0,..., 0)-(3, 0,..., 0)-(3, 3, ..., 3, 0)$,
- un altro segmento omogeneo di estremi $(0, 0, ..., 0) - (3, 3, ...., 3)$
Ogni segmento della seconda classe fa parte di un triangolo. Con un triangolo i cui vertici hanno coordinate generiche $A-B-C$, il triangolo genera $3$ triangoli i cui vertici hanno coordinate
$(A, 3)-(B,0)- (C,0)$
$(A, 0)-(B,3)- (C,0)$
$(A, 0)-(B,0)- (C,3)$

Volendo fare una veloce verifica che il numero di segmenti rimanga $(3^k-1)/2$:
il SO genera un triangolo, ovvero 3 segmenti, piu' un altro SO.
ogni altro segmento (triangolo) viene triplicato.
Nella formula, $(3^k-1)/2$
diventa $3(3^k-1)/2+1 = (3^(k+1)-1)/2$

Adesso consideriamo il punto di partenza della spezzata e mostriamo che si puo' partire da ogni punto tranne il punto $(1,1,...,1)$.
Dobbiamo distinguere $3$ classi di punti (che non hanno nulla in comune con quelle descritte prima):
a) i punti che contengono una o piu' coordinate uguali a $1$, ma non tutte uguali a $1$, ad es il punto $(2,1,1, 0,...)$
b) il punto di coordinate $(1,1,...,1)$
c) i punti che non contengono la coordinata $1$.

Se si parte da un punto di tipo c), per ogni coordinata di valore $0$ si applica una simmetria rispetto all'iperpiano $x_d = 1$, dove $d$ e' la coordinata di valore $0$. Il risultato e' che il punto diventa di coordinate $(2,2,...,2)$.
In questo modo la spezzata viene percorsa partendo da questo punto, che e' il punto di partenza del SO.
Se si parte da un punto di tipo a), per ogni coordinata di valore $2$ si applica una simmetria rispetto all'iperpiano $x_d = 1$, dove $d$ e' la coordinata di valore $2$. Il risultato e' che il punto diventa privo di coordinate di valore $2$.
ll punto in questione diventa cosi' raggiungibile dall'origine. In questo caso la spezzata viene percorsa partendo ovviamente dal punto in questione, percorrendo il triangolo a cui il punto appartiene e finendo nell'origine. Quindi si percorrono tutti gli altri triangoli, tornando ogni volta all'origine, e infine si percorre il SO, finendo nel punto $(3,3,..., 3)$.
Bisogna precisare che in ogni dimensione $k>2$ esiste un triangolo che non ha un vertice nell'origine.

Infine il punto $(1,1,...,1)$.
Questo punto e' problematico perche' rimane invariato applicando una o piu' simmetrie rispetto all'perpiano $x_d =1$, come era stato fatto prima. E questo punto si puo' percorrere solo tramite il SO. Pero' per percorrere tutti i punti del SO bisogna prima percorrere un primo tratto da $(1,1,...,1)$ a $(2,2,...,2)$, e poi percorrere normalmente tutta la spezzata. Questo fa in modo che il numero di tratti di spezzata da percorrere sia $(3^k+1)/2$ invece di $(3^k-1)/2$ come per tutti gli altri punti.

[marcokrt]

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Non so quanto sia comprensibile, in effetti gia' comprendere la soluzione per $k=3$ non e' banale, figurarsi per le dimensioni superiori. Ci sarebbe altro da spiegare...
Lascio un link alla soluzione $k=3$ con un modello 3D interattivo.
https://www.geogebra.org/calculator/zxyxvv6m

Prima di tutto bisogna mostrare un processo costruttivo (o induttivo) per generare i segmenti nella dimensione $k+1$ a partire dalla dimensione $k$.
Vi sono $2$ classi di segmenti nella dimensione $k>1$: nella prima classe c'e' solo il segmento omogeneo (SO) di estremi $(0, 0, ..., 0)- (3, 3, ...., 3)$ nella seconda classe ci sono tutti gli altri segmenti.
Questa distinzione nasce dal fatto che il SO della della prima classe NON fa parte di un triangolo assieme ad altri segmenti e quindi quando si percorre la spezzata va percorso per primo (o per ultimo).
Nella seconda classe invece ogni segmento fa parte di un triangolo di cui uno dei vertici e' $(0,0, ..., 0)$ e quando si percorre la spezzata il triangolo viene percorso partendo dall'origine $(0,0,..., 0)$, e ritornando all'origine, come se fosse un loop.
L'unica eccezione e' se si parte da un certo triangolo, in questo caso il triangolo non viene percorso interamente.

Torniamo al passaggio dalla dimensione $k$ alla $k+1$.
Nel passaggio dalla dimensione $k$ alla $k+1$, in cui la dimensione aggiunta e' l'ultima, il segmento della prima classe genera:
- un triangolo, ovvero 3 segmenti a triangolo di coordinate $(0,0,..., 0)-(3, 0,..., 0)-(3, 3, ..., 3, 0)$,
- un altro segmento omogeneo di estremi $(0, 0, ..., 0) - (3, 3, ...., 3)$
Ogni segmento della seconda classe fa parte di un triangolo. Con un triangolo i cui vertici hanno coordinate generiche $A-B-C$, il triangolo genera $3$ triangoli i cui vertici hanno coordinate
$(A, 3)-(B,0)- (C,0)$
$(A, 0)-(B,3)- (C,0)$
$(A, 0)-(B,0)- (C,3)$

Volendo fare una veloce verifica che il numero di segmenti rimanga $(3^k-1)/2$:
il SO genera un triangolo, ovvero 3 segmenti, piu' un altro SO.
ogni altro segmento (triangolo) viene triplicato.
Nella formula, $(3^k-1)/2$
diventa $3(3^k-1)/2+1 = (3^(k+1)-1)/2$

Adesso consideriamo il punto di partenza della spezzata e mostriamo che si puo' partire da ogni punto tranne il punto $(1,1,...,1)$.
Dobbiamo distinguere $3$ classi di punti (che non hanno nulla in comune con quelle descritte prima):
a) i punti che contengono una o piu' coordinate uguali a $1$, ma non tutte uguali a $1$, ad es il punto $(2,1,1, 0,...)$
b) il punto di coordinate $(1,1,...,1)$
c) i punti che non contengono la coordinata $1$.

Se si parte da un punto di tipo c), per ogni coordinata di valore $0$ si applica una simmetria rispetto all'iperpiano $x_d = 1$, dove $d$ e' la coordinata di valore $0$. Il risultato e' che il punto diventa di coordinate $(2,2,...,2)$.
In questo modo la spezzata viene percorsa partendo da questo punto, che e' il punto di partenza del SO.
Se si parte da un punto di tipo a), per ogni coordinata di valore $2$ si applica una simmetria rispetto all'iperpiano $x_d = 1$, dove $d$ e' la coordinata di valore $2$. Il risultato e' che il punto diventa privo di coordinate di valore $2$.
ll punto in questione diventa cosi' raggiungibile dall'origine. In questo caso la spezzata viene percorsa partendo ovviamente dal punto in questione, percorrendo il triangolo a cui il punto appartiene e finendo nell'origine. Quindi si percorrono tutti gli altri triangoli, tornando ogni volta all'origine, e infine si percorre il SO, finendo nel punto $(3,3,..., 3)$.
Bisogna precisare che in ogni dimensione $k>2$ esiste un triangolo che non ha un vertice nell'origine.

Infine il punto $(1,1,...,1)$.
Questo punto e' problematico perche' rimane invariato applicando una o piu' simmetrie rispetto all'perpiano $x_d =1$, come era stato fatto prima. E questo punto si puo' percorrere solo tramite il SO. Pero' per percorrere tutti i punti del SO bisogna prima percorrere un primo tratto da $(1,1,...,1)$ a $(2,2,...,2)$, e poi percorrere normalmente tutta la spezzata. Questo fa in modo che il numero di tratti di spezzata da percorrere sia $(3^k+1)/2$ invece di $(3^k-1)/2$ come per tutti gli altri punti.

Complimenti vivissimi già solo per aver provato a rispondere a un quesito così complesso... mi sembra che ci siano delle grandi intuizioni, ma ho anche qualche dubbio.
1) La prima domanda però è d'obbligo: "La soluzione in 3D del modello GeoGebra che hai realizzato è presa da quello che avevo scritto nel thread linkato o ci sei arrivato in modo completamente autonomo in così poco tempo?". Vanno benissimo entrambe le cose, ma se fosse un risultato indipendente che hai trovato così in scioltezza, sarei assolutamente ammirato!
2) La mia soluzione costruttiva (il c.d. "clockwise-algorithm") partiva da un concetto semplice: si replica in una dimensione in più, considerandone $k$ totali, la soluzione trovata per $k-1$, si ripete $3$ volte e poi ci si trova con una "diagonale" $k-1$ dimensionale libera in cui appiccicare pari-pari la soluzione per $k-1$, tanto ci si sposta solo sui vertici dell'ipercubo $[0,3] \times [0,3] \times \cdots \times [0,3]$ e si può però decidere di accorciare il segmento iniziale e quello finale in modo da colpire altri due vertici e non sforare come mostri nel modello linkato (che è elegante di per sé, ma sono di parte). Ora, con questo approccio si può arrivare a coprire tutti i punti iniziali/finali con altrettante spezzate valide, perché la prima fase del c.-a. lascia spazio di manovra e ok... diamolo per buono senza scriverci pagine per motivarlo ulteriormente (oltretutto ci sono innumerevoli altri tipi di soluzione già per $k=3$, a me nel paper del 2020 serviva giusto una generalizzabile facilmente per chiudere la dimostrazione). Ora però arrivano le mie perplessità...
3) Dobbiamo dunque dimostrare che non possono esistere soluzioni migliori di quella data, che consta di $\frac{3^k-1}{2}$ segmenti consecutivi, e quindi serve una dimostrazione formale (che però è banale nel caso specifico... altrimenti basta invocare il caso speciale $n_1 = n_2 = \cdots = n_k$ del Th. 2.1 di questo articolo e il problema non si pone nemmeno: https://arxiv.org/pdf/2208.01699). Tuttavia, da come l'hai scritta, il caso $k=1$ non lo vedo risolvibile spendendo solo un segmento in più se si parte dal centro, perché non potremmo generare una poligonale valida... insomma, non otterremmo mai un trail, bensì un walk (ripetendo due volte metà del tragitto e non il solo nodo della griglia data).
4) Risolti tutti i problemi di cui sopra, non ci resta che dimostrare come iniziando da $(1,1,\ldots,1)$ si spenda un segmento in più, come hai giustamente scritto, per $k > 1$ (o $k>2$ se accettiamo la soluzione che avevo usato come esempio nel post iniziale). Il mio dubbio qui è il seguente: non esiste solo quel tipo di soluzione evidenziato, ce ne sono innumerevoli diverse già per $k=3$, se non sei convinto ti posso cercare delle Figure che ricordo di aver realizzato e poi non incluso nell'articolo per brevità... insomma, credo ci serva un approccio valido in generale e (IMHO) riesumare l'idea usata nella dimostrazione del Th. 2.1 semplificherebbe di gran lunga le cose.

Magari mi sono perso qualcosa, ma ho scritto ogni dubbio giusto per evitare di dimenticarmene. In ogni caso, rinnovo i complimenti per la risposta... non me l'aspettavo davvero così vicina a ciò che ho impiegato anni per trovare.

P.S. Editato perché avevo postato lo stesso messaggio 2 volte, chiedo venia!

[Quinzio]

Ok, allora, no, il tuo link all'altro thread, poi al video e al paper l'ho visto dopo. La spezzata 3D e' farina del mio sacco, come si diceva a scuola quando ci andavo io.
Avevo visto il thread sul problema dei 9 punti quando era all'inizio ma poi l'ho ignorato perche' avevo pensato: "E' il solito problema dei 9 punti", "Pensiero laterale", ecc...
Poi ho visto questo thread e mi sono interessato alla versione 3D. Conoscevo benissimo il problema dei 9 punti ma non immaginavo che avesse l'estensione a piu' dimensioni con tanto di soluzione. Comunque, gia' con la sicurezza che la soluzione esiste e anche con la formulina che calcola il numero di segmenti e' tutto piu' semplice. Un altro conto e' interessarsi al problema senza neanche sapere se e' un vicolo cieco o no, come hai fatto tu. In ogni caso grazie per l'apprezzamento.
Non ho guardato il clockwise algorithm, ma lo faro', ho visto che lo citi nel video.
E' interessante notare come sulle proiezioni ortogonali quello che si vede e' la soluzione della dimensione inferiore, ad es. facendo le proiezioni ortogonali della soluzione 3D sui piani $x=0, y=0, z=0$, quello che si vede e' la spezzata 2D.
Nella versione 3D la percorrenza della spezzata e' prima sul segmento $x=y=z$, poi il triangolo su $x=y$, poi quello su $y=z$ poi quello su $x=z$. Quando si percorre uno dei triangoli e si e', ad es. sul punto $(0,0,3)$, allora si fa un giro sul triangolo del piano $x+y+z=3$, e poi si chiude la soluzione.
Come dici tu, la spezzata 3D si puo' percorrere in altri modi, ad es. facendo il giro sul triangolo del piano $x+y+z=3$ quando si e' sul punto $(0,3,0)$ oppure sul punto $(3,0,0)$, oppure percorrendo i triangoli in senso inverso, ci sono tutte le simmetrie del caso.

Riguardo alla dimostrazione che $(3^k -1)/2$ sia la soluzione minima, ok, io ho preso questo dato per buono, non ho fornito nessuna dimostrazione o giustificazione.

Riguardo invece al problema che avevi posto (perche' non si puo' partire dal punto $(1,1,...,1)$) e a cui ho provato a dare una risposta, in parole semplici, prendendo il caso $k=1$ che si capisce al volo, non posso partire dal punto in mezzo perche' se parto dal punto in mezzo devo fare un primo tratto fino a uno degli altri punti e poi tornare indietro, quindi sono due tratti. Se parto da un estremo, mi basta solo un tratto.
Ecco, tutto si risolve in questo concetto di base, poi e' chiaro che nelle dimensioni superiori tutto si complica.

Infine i complimenti vanno fatti a te, che hai realizzato molti video interessanti, tra cui quello di questo problema, che ha una grafica molto curata e bella, siamo al livello dei video di 3Blue1Brown, che ormai e' una autorita' con i suoi video. Poi hai fatto
il paper in modo professionale, molti altri vari video, insomma complimenti a te.

[Quinzio]

Questo dovrebbe essere il modello 4D, sull'idea del tuo video, ovvero di rappresentare la 4a dimensione con un altro cubo spostato. Non ho messo tutti i punti, ma solo la spezzata.
https://www.geogebra.org/calculator/sszvqgsd
Se si mette l'occhio in modo che i due cubi siano allineati, si vede ancora la soluzione 3D.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

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[marcokrt]

Ok, allora, no, il tuo link all'altro thread, poi al video e al paper l'ho visto dopo. La spezzata 3D e' farina del mio sacco, come si diceva a scuola quando ci andavo io.
Avevo visto il thread sul problema dei 9 punti quando era all'inizio ma poi l'ho ignorato perche' avevo pensato: "E' il solito problema dei 9 punti", "Pensiero laterale", ecc...
Poi ho visto questo thread e mi sono interessato alla versione 3D. Conoscevo benissimo il problema dei 9 punti ma non immaginavo che avesse l'estensione a piu' dimensioni con tanto di soluzione. Comunque, gia' con la sicurezza che la soluzione esiste e anche con la formulina che calcola il numero di segmenti e' tutto piu' semplice. Un altro conto e' interessarsi al problema senza neanche sapere se e' un vicolo cieco o no, come hai fatto tu. In ogni caso grazie per l'apprezzamento.

Che dire, una mente brillante!

Non ho guardato il clockwise algorithm, ma lo faro', ho visto che lo citi nel video.
E' interessante notare come sulle proiezioni ortogonali quello che si vede e' la soluzione della dimensione inferiore, ad es. facendo le proiezioni ortogonali della soluzione 3D sui piani $x=0, y=0, z=0$, quello che si vede e' la spezzata 2D.
Nella versione 3D la percorrenza della spezzata e' prima sul segmento $x=y=z$, poi il triangolo su $x=y$, poi quello su $y=z$ poi quello su $x=z$. Quando si percorre uno dei triangoli e si e', ad es. sul punto $(0,0,3)$, allora si fa un giro sul triangolo del piano $x+y+z=3$, e poi si chiude la soluzione.
Come dici tu, la spezzata 3D si puo' percorrere in altri modi, ad es. facendo il giro sul triangolo del piano $x+y+z=3$ quando si e' sul punto $(0,3,0)$ oppure sul punto $(3,0,0)$, oppure percorrendo i triangoli in senso inverso, ci sono tutte le simmetrie del caso.

Sì, diciamo che il clockwise-algorithm (nell'estenzione del paper successivo che è inutile citare) restituisce la tua soluzione al millimetro, mentre in quella del primo paper riduce ai minimi termini il primo e l'ultimo segmento della spezzata considerate e dimostra costruttivamente che l'upper bound del problema è appunto $\frac{3^k-1}{2}$ segmenti, ma non è efficiente in termini di lunghezza totale percorsa (sommando le lunghezze euclidee dei singoli segmenti), si possono trovare percorsi completamente diversi che hanno lo stesso totale di segmenti, ma in media più brevi... ora, non ho più idea dove sia finita la soluzione che mi ero appuntato all'epoca per il caso $k=3$, ma lo ricordo chiaramente (intendevo questo, non esiste solo l'approccio delle rotazioni in $3$ step che abbiamo trovato noi).
In ogni caso, se siamo d'accordo sul fatto che si possa partire da ciascun punto appartenente all'insieme $\{G_k\} - {(1,1,\ldots,1)}$ e collegare tutti i rimanenti con una avente $\frac{3^k-1}{2}$ segmenti, direi di proseguire oltre. [/quote]

Riguardo alla dimostrazione che $(3^k -1)/2$ sia la soluzione minima, ok, io ho preso questo dato per buono, non ho fornito nessuna dimostrazione o giustificazione.

Sì, questa parte, per il caso specifico è assolutamente banale e un semplice caso particolare del citato Th. 2.1, niente da eccepire.

Riguardo invece al problema che avevi posto (perche' non si puo' partire dal punto $(1,1,...,1)$) e a cui ho provato a dare una risposta, in parole semplici, prendendo il caso $k=1$ che si capisce al volo, non posso partire dal punto in mezzo perche' se parto dal punto in mezzo devo fare un primo tratto fino a uno degli altri punti e poi tornare indietro, quindi sono due tratti. Se parto da un estremo, mi basta solo un tratto.
Ecco, tutto si risolve in questo concetto di base, poi e' chiaro che nelle dimensioni superiori tutto si complica.

Quest'ultimo punto è quello che mi desta qualche perplessità, perché ok... assumiamo $k \geq 2$. Ora, dovremmo provare a dimostrare formalmente che ci serve sempre almeno una linea in più rispetto all'ottimale senza vincoli sul nodo di $\{G_k\}$ da cui iniziare e ragionando in termini intuitivi, non possiamo escludere che nei casi di soluzioni diverse dalla nostra con i "triangoli" non si riesca a ottenere lo stesso risultato anche partendo dal centro. La mia interpretazione è invece quella di usare sempre l'idea base della dimostrazione del Th. 2.1 in cui hai come risultato vincolante l'impossibilità di centrare più di $3+2+2+\cdots$ punti con il relativo numero di addendi e non si migliora passando a $3 + 1 + 3 + \ldots$, perché se tutte i segmenti non scendono mai sotto $2$ punti, allora al massimo un solo segmento ne può centrare $3$, ma già sappiamo che partendo dal centro non puoi collegarne più di un altro col primo segmento... il resto del ragionamento è semplice da intuire.

Infine i complimenti vanno fatti a te, che hai realizzato molti video interessanti, tra cui quello di questo problema, che ha una grafica molto curata e bella, siamo al livello dei video di 3Blue1Brown, che ormai e' una autorita' con i suoi video. Poi hai fatto
il paper in modo professionale, molti altri vari video, insomma complimenti a te.

Onorato! Io ci ho messo il concept e la supervisione (anche se nel finale del testo mi sono sfuggite un paio di imprecisioni di poco conto), ma la parte grafica l'ha realizzata (for free) un iscritto al canale che mi scrisse e che aveva piacere a veder animata la soluzione che avevo realizzato con GeoGebra solo fino al caso 3D, mentre il resto erano solo una serie di numeri su una serie di griglie quadrate nell'articolo del 2020.

[marcokrt]

Nel caso Quinzio lo trovasse interessante, avrei piacere di proporre un problema centrale nella generalizzazione a griglie $k$ dimensionali arbitrarie del suddetto problema... sono vicino a trovare la soluzione completa del caso generico qualora si riuscisse a risolvere una particolare configurazione: quella della griglia $\{{0,1,2,3} \times {0,1,2,3} \times {0,1,2,3}\} \subset \mathbb{R}^3$.
Ora, ho dimostrato costruttivamente che la poligonale minima ha lunghezza $21$, $22$ o $23$ segmenti, ma alla fine mi sono arreso, se qualuno riuscisse almeno a scartare uno dei tre valori, sarei felice di mettervi tutto a disposizione (compresi i miei preprint con le congetture e/o pubblicati su un e-zine poco noto e via dicendo) per permettervi di scrivere un vostro articolo con la risposta, mi farebbe super piacere che qualcuno raccogliesse il testimone