Sia \( \mathbb{C}_p \) il campo dei numeri complessi \(p\)-adici, i.e. la distanza è \(p\)-adica, ovvero invece della disuguaglianza triangolare soddisfa la più forte proprietà che \( \left| x - y \right| \leq \max \{ \left| x \right|, \left| y \right| \} \).
Data una serie di potenze
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]
il raggio di convergenza è definito come
\[ r := \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \left| a_n \right|^{1/n} } \]
Definiamo
\[ \log(1+x) = \sum_{j=1}^{n+1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \]
Potete ammettere che per ogni \( x \in D^{-}(1) = \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x \right| < 1 \} \) la serie converge, i.e. il raggio di convergenza di \( f(x) = \log(1+x) \) è \(1\) e diverge sul bordo. Potete anche ammettere che valgono le usuali proprietà dei logaritmi per \(x \in D^{-}(1) \).
1) Dimostra che rispetto al valore assoluto \(2\)-adico abbiamo
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n} = 0 \]
hint: Per ogni \( x \in \mathbb{Z} \) l'ordine \(2\) adico è definito come il più grande esponente tale \( 2^k \mid x \) e \(2^{k+1} \not\mid x\), mentre per \( x = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \), abbiamo che \( \operatorname{ord}(x) = \operatorname{ord}(a)- \operatorname{ord}(b) \), inoltre \( \left| x \right|_2 = 2^{- \operatorname{ord}(x)} \) è la norma \(2\)-adica.