Non ci sono dimostrazioni in quelle citazioni; peraltro la sequenza a cui mi riferivo principalmente è l'altra (A5168) ovvero quella in cui si mostra che oltre a essere interi sono sempre multipli di $n$, il che è ancor più sorprendente
L'unico riferimento (ma non la dimostrazione) era quello che già conoscevo, precisamente è il paper di Richard Guy dal titolo "The Strong Law of Small Numbers" (pubblicato su Amer.Math.Monthly 1998-8), in cui un po' nascosto si trova questo:
"If $y=x^x$ and $y_n(1)$ denotes the value of $(d^ny)/(dx^n)$ at $x=1$, then
$y_(n+1)(1)=y_(n)(1)+((n),(1))y_(n-1)(1)-((n),(2))y_(n-2)(1)+2!((n),(3))y_(n-3)(1)-3!((n),(4))y_(n-3)(1)+-+...+(-1)^n(n-1)!$.
This was not known to be a multiple of $n+1$ when it was submitted to the Unsolved Problems section of this MONTHLY by Richard Patterson & Gaurar Suri.
But in an 87-05-28 letter,
Herb Wilf gives a proof, using the generating function for Stirling numbers of the first kind. His proof in fact shows that $n(n-1)$ divides $y_n(1)$ just if $n-1$ divides $(n-2)!$, which it does for $n>=7$, provided that $n-1$ is not prime"