dan95 ha scritto:procedere per induzione. Credo ...
Eheh, bisogna farlo però.
Propongo una dimostrazione "soft", usando la derivata logaritmica. Sia \(f(x)=x^x\).
Da dimostrare. Per ogni \(n\in\mathbb N\), \(f^{(n)}(1)\) è un intero.
Dimostrazione.
E' facile vedere che
\[
\frac{d^n}{dx^n}(\log f(x))|_{x=1}\in \mathbb Z.
\]
(Infatti questo numero è facile da calcolare ed è uguale a \((-1)^n(n-2)!\)).
Adesso possiamo innescare l'induzione. Ovviamente \(f(1)=1\). Perciò
\[
\frac{d}{dx}(\log f(x))|_{x=1}= f'(1), \]
quindi \(f'(1)\) è intero, perché il membro sinistro è intero. Continuando questo algoritmo, calcoliamo
\[
\frac{d^2}{dx^2}(\log f(x))|_{x=1}=f''(1)-(f'(1))^2,
\]
e siccome il membro sinistro è intero, \(f''(1)\) è intero. E così via. Ad ogni passo,
\[\tag{1}
\frac{d^n}{dx^n}(\log f(x))|_{x=1}= f^{(n)}(1) + P_n(f^{(n-1)}(1), \ldots, f'(1)), \]
dove \(P_n\) è un polinomio a coefficienti interi. Siccome il membro sinistro è intero, concludiamo per induzione che pure \(f^{(n)}(1)\) è intero.
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Volendo, si può calcolare una formula esplicita per (1) usando la formula di Faà di Bruno. Qui si vede la differenza nell'approccio alla matematica delle varie persone. Uno come Pilloeffe non avrebbe pensato due volte a calcolare la formula esplicita, per poi desumere da essa tutte le informazioni desiderate: questo è quello che chiamo l'approccio massimalista ai calcoli. Io invece ho un approccio minimalista, ovvero l'esatto opposto, cerco di estrarre solo le informazioni necessarie e nulla più. Entrambi gli approcci hanno pro e contro.