Altre cose che mi vengono in mente:
- in questo paper
http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/20/10/20-10.pdf Freyd caratterizza una proprietà universale per l'intervallo unitario chiuso \([0,1]\), come coalgebra terminale; qui viene tutto spiegato bene
https://ncatlab.org/nlab/show/coalgebra ... l+interval- questa faccenda è in realtà generale: nella rappresentazione come frazioni continue, i numeri reali sono cartterizzabili come coalgebre terminali (
click) e anche il loro tipo d'ordine (
click). Altrettanto succede ai numeri $p$-adici:
https://arxiv.org/abs/1504.01408Potrei parlare a lungo del motivo secondo cui per me succede, ma ora non ho tempo e hanc marginis eccetera. Mi limito a screenshottare l'introduzione dell'articolo di Vaughan e Dusko (che, per inciso, è mooolto piu stronzo di me
)
Quindi, detta pane al pane: le strutture continue
sono esattamente quelle definibili coinduttivamente. (Anche qui potrei parlare molto del motivo: ma bisogna masticare un po' di logica, oltreché di CT, oltreché di topologia generale, oltreché...; mi limito a notare che questa maniera di vedere la situazione è (a) dirompente -ha generato una letteratura sterminata che ora non ho tempo di rintracciare su connectedpapers.com- e affascinante e (b) possibile
solo in seno alla matematica strutturale: cioè, questi teoremi, senza le categorie, non esistono, né questo punto di vista è esprimibile.)
Come è comprensibile, questa maniera di vedere i numeri reali, cioè strutture prettamente continue, come limiti di strutture discrete, ha catturato l'attenzione di un sacco di theoretical computer scientist. L'idea non è diversa da quella degli analisti numerici.
Secondo me questo tipo di applicazione della teoria delle categorie è la più "onesta", dato che ha delle ricadute immediate ed è matematica comunque estremamente raffinata. Tanto piu che quello che reputo uno dei migliori articoli mai scritti
https://arxiv.org/abs/1010.4474 congettura che a essere coalgebre terminali siano una vasta classe di insiemi di Julia (!), tra cui praticamente tutti quelli noti al grande pubblico.
Ho altre cose da dire: per esempio la dualità discreto continuo si apprezza in un tema che mi è molto caro, la teoria delle specie combinatorie e funzioni generatrici (altro posto dove è di effetto dirompente usare idee categoriali). Per esempio, esiste una teoria immensa, quella degli operatori di Rota-Baxter
https://en.wikipedia.org/wiki/Rota-Baxter_algebra che esprime algebricamente (in complemento alla teoria dell algebre differenziali) gli operatori integrali. Su questa cosa si fa ricerca
oggi, nel senso che questo preprint
https://arxiv.org/abs/2401.08223 è uscito quarantott'ore fa.
Nel contesto delle specie, quello che si fa è attaccare a un oggetto definito in maniera combinatoria (per esempio la successione dei numeri di Bernoulli, la successione doppia dei binomiali, dei multinomiali, la statistica di Schubert (il matematico Hermann, non il musicista Franz) una serie formale. Le proprietà
analitiche (il raggio di convergenza, la particolare funzione analitica a cui la serie converge, se lo fa, la sua derivata formale,...) vengono tutte collegate a proprietà combinatorie della successione dei numeri di cui prima. Tecnica nota da secoli, che però ha trovato linfa enorme nell'essere vista come una procedura categoriale.
Poi: Bill Lawvere, nell'ultima parte della sua carriera, ha cercato per molto tempo una assiomatizzazione degli spazi "coesivi", cioè quelli che, oltre a essere degli spazi, sono degli spazi "le cui parti cooperano a una struttura globale coerente" simile alla definizione di varietà data da Riemann (il tedesco di Riemann mi pare di ricordare si traduca come "molteplicità", il russo è многообразие, una cosa tipo "multiforme"). Ci sono diversi fatti sorprendenti, ossia che certe strutture "discrete" (per esempio classi di grafi) andrebbero considerate come capaci di formare "agglomerati coesivi", ma solo se sono grafi riflessivi (!?).
Lawvere voleva usare questo linguaggio come fondamento per la geometria differenziale, ma non è stato ascoltato e il progetto era troppo ambizioso. Ho studiato con una certa attenzione -per il poco che ne ho tratto- quelle idee, perché recentemente Urs Schreiber, un fisico (che detto per inciso, è altrettanto stronzo che me
) ha scritto un gigantesco libro cercando di usare la teoria della coesione assiomatica per fare teoria delle stringhe
https://arxiv.org/abs/1310.7930 (come vedete, è poco meno di 800 pagine. Un agile libello!).
Lawvere, comunque, iniziò la sua carriera proprio cercando una assiomatizzazione della meccanica dei continui: ora devo andare, ma alcuni riferimenti bibliografici sono
- Lawvere, F. William, and Stephen H. Schanuel, eds. Categories in continuum physics: Lectures given at a workshop held at SUNY, Buffalo 1982. Vol. 1174. Springer, 2006.
- Lawvere, F. William. "Categorical algebra for continuum micro physics." Journal of Pure and Applied Algebra 175.1-3 (2002): 267-287.
- Lawvere, F. William, Stephen H. Schanuel, and Walter Noll. "Continuum mechanics and geometric integration theory." Categories in Continuum Physics: Lectures given at a Workshop held at SUNY, Buffalo 1982. Springer Berlin Heidelberg, 1986.
- Lawvere, F. William, Stephen H. Schanuel, and William O. Williams. "Structure of continuum physics." Categories in Continuum Physics: Lectures given at a Workshop held at SUNY, Buffalo 1982. Springer Berlin Heidelberg, 1986.
- Lawvere, F. William, Stephen H. Schanuel, and Alfred Frölicher. "Cartesian closed categories and analysis of smooth maps." Categories in Continuum Physics: Lectures given at a Workshop held at SUNY, Buffalo 1982. Springer Berlin Heidelberg, 1986.
- Lawvere, F. William. "Toposes of laws of motion." (non riesco a trovarne una versione online, ma esiste)
- Lawvere, F. William, Stephen H. Schanuel, and Anders Kock. "Introduction to synthetic differential geometry, and a synthetic theory of dislocations." Categories in Continuum Physics: Lectures given at a Workshop held at SUNY, Buffalo 1982. Springer Berlin Heidelberg, 1986.
Anche senza entrare nello specifico, è evidente il tema comune che anima tutti questi lavori, così come il fatto che è
squisitamente difficile fare un'affermazione non banale sul tema.
La rivoluzione concettuale piu profonda del ventesimo secolo è stata proprio quella che ha portato alla ri-definizione del concetto di spazio. Un concetto troppo generale quando lasciato in mano ai matematici puri, che allo stesso tempo però hanno portato diverse idee le quali sono state ogni tanto prese sul serio dagli altri (matemaici meno puri, e fisici).