kilogrammo ha scritto:A me risulta che fa 1
qualcuno ha scritto:A me viene 12
Scusate, mi fate vedere i conti in base ai quali vi risulta rispettivamente $1$ e $12$?
Posto $I(t) := \int_0^{+\infty} sin^2(tx)/(\pi^2 - x^2) \text{d}x $ con $t \ge 0 $, $I(1)$ è l'integrale iniziale proposto ed ovviamente $I(0) = 0 $
Derivando rispetto a $t$ si ha $I'(t) = \int_0^{+\infty} xsin(2tx)/(\pi^2 - x^2) \text{d}x $ ed ovviamente si ha anche $I'(0) = 0 $
$I'(t) = \int_0^{+\infty} xsin(2tx)/(\pi^2 - x^2) \text{d}x = - \int_0^{+\infty}((pi^2 - x^2 - \pi^2)sin(2tx))/(x(\pi^2 - x^2)) \text{d}x = $
$ = - \int_0^{+\infty} (sin(2tx))/x \text{d}x + \pi^2 \int_0^{+\infty}(sin(2tx))/(x(\pi^2 - x^2)) \text{d}x = - pi/2 \text{sgn}(t) + \pi^2 \int_0^{+\infty}(sin(2tx))/(x(\pi^2 - x^2)) \text{d}x = $
$ = - pi/2 + \pi^2 \int_0^{+\infty}(sin(2tx))/(x(\pi^2 - x^2)) \text{d}x $
Derivando ancora $I'(t) $ rispetto a $t$ si ha:
$I''(t) = 2 \pi^2 \int_0^{+\infty}(cos(2tx))/(\pi^2 - x^2) \text{d}x $
con
$I''(0) = 2 \pi^2 \int_0^{+\infty} 1/(\pi^2 - x^2) \text{d}x = \pi[ln|(\pi + x)/(\pi - x)|]_0^{+\infty} = 0$
nel senso del valor principale. Derivando nuovamente rispetto a $t$ si ha:
$I'''(t) = 2\pi^2 \int_0^{+\infty}(- 2 x sin(2tx))/(\pi^2 - x^2) \text{d}x = - 4\pi^2 I'(t) $
Posto per comodità $y(t) := I'(t) $, si ottiene l'equazione differenziale del secondo ordine seguente:
$y''(t) + 4\pi^2 y(t) = 0 $
Quest'ultima equazione differenziale ha soluzione $y(t) = c_1 cos(2\pi t) + c_2 sin(2\pi t) $
Imponendo le condizioni iniziali $y(0) = I'(0) = 0 $ e $y'(0) = I''(0) = 0 $ si ottiene $c_1 = c_2 = 0 $ sicché si ha $y(t) = I'(t) = 0 \implies I(t) = k $, ma siccome $I(0) = 0 $ allora $k = 0 $ come volevasi dimostrare. \( \displaystyle \Box \)