Esercizio metodo punto unito

[Giogoe]

Salve ragazzi, ho un problema con il seguente esercizio sul metodo punto unito.
Data la seguente funzione di iterazione:

$ x_(n+1)=2-(\alpha+1)x_n+\alphax^3 $

dovrei trovare per quali valori di $ \alpha $ e scelta del punto iniziale il metodo converge.
Avevo pensato di verificare la convergenza del metodo localmente ma per fare questo dovrei conoscere i punti uniti della funzione $ f(x)=0 $ e poi imporre che $ |g(xi )|<1 $ con $ xi $ punto unito della funzione e $ g(x)=2-(1+alpha)x+alphax^3 $.

Tuttavia non so come fare per trovare le soluzioni della $ f(x)=alphax^3-(2+alpha)x+2=0 $ e quindi conoscere i punti uniti e procedere a determinare i valori di $ alpha $ per la convergenza.

Avevo pensato di usare Ruffini essendo l'equazione di III grado ma non credo sia giusto perche c'è $ alpha $ cge moltiplica $ x^3 $. Come mi consigliate di procedere? Avevo pensato anche di trovare la soluzione per via grafica ma non credo sia il metodo giusto.

Grazie mille

[feddy]

La condizione che intendi è $|g'(\xi)| < 1$. Cioè $|3 \alpha \xi^2 - (\alpha +1)|<1$, che è più semplice da risolvere.

[Giogoe]

La condizione che intendi è $ |g'(\xi)| < 1 $. Cioè $ |3 \alpha \xi^2 - (\alpha +1)|<1 $, che è più semplice da risolvere.

Si esatto. Riflettendoci meglio sono anche riuscito a risolverlo per intero. Praticamente i punti uniti della funzione sono 3: $ xi=1 $ che è indipendente da $ alpha $ , le altre 2 sono le radici di questa equazione $ alphax^2+alphax-2=0 $. Quet'ultime sono dipendenti da $ alpha $ ovviamente e devono essere stabilite le condizione di esistenza per $ alpha $. Basta poi verificare che $ |g'(\xi)| $ < 1 per tali $ xi $ ed il gioco è fatto.

Avrei dovuto rifletterci meglio. Grazie a tutti

[feddy]

Prego