Unicità del polinomio di interpolazione

[compa90]

Buongiorno vorrei chiarire con voi il mio problema inerente all'unicità del polinomio di interpolazione.
Riporto l'enunciato del teorema con dimostrazione di unicità del polinomio di interpolazione di Lagrange.

Enunciato: Siano $n+1$ nodi distinti $ (x_i) \ i=0,1,...,n$ ed $n+1$ valori corrispondenti $ (y_i) \ i=0,1,...,n$.
Sia $p$ il polinomio di interpolazione di grado al più $m$ cioè

$p(x_i)=y_i, \ i=0,1,...,n, \quad p \in P_m$

è unico se $m=n $

Dimostrazione: Considero due polinomi $q,r \in P_n$ di interpolazione, cioè $q(x_i)=y_i=r(x_i), i=0,1,...,n.$
Sia ora il polinomio differenza $d(x):=q(x)-r(x)$. Quest'ultimo è per costruzione anch'esso un polinomio di grado al più $n$, e si annulla $n+1$ volte su $x_i$, con $i=0,1,...,n$.
Dall'altra parte per il Teorema fondamentale dell'algebra un polinomio di grado al più $n$ ammette $n$ zeri distinti, quindi, il polinomio differenza deve essere necessariamente il polinomio nullo, dunque, dal principio di identità dei polinomi segue che $q(x)=r(x)$ , pertanto vi è un solo polinomio di interpolazione.
Fine dimostrazione.

La dimostrazione mi è chiara (se ci sono errori fatemelo presente), però il mio dubbio è: tale dimostrazione non vale anche nel caso in cui $m=n-1$ oppure $m=n+1$, ora senza ripercorrere tutta la dimostrazione considero l'ultima parte, quindi, suppongo che $q,r \in P_{n-1}$,
Dall'altra parte per il Teorema fondamentale dell'algebra un polinomio di grado al più $n-1$ ammette $n-1$ zeri distinti, quindi, il polinomio differenza deve essere necessariamente il polinomio nullo, perché si annulla $n+1$ volte, dunque, dal principio di identità dei polinomi segue che $q(x)=r(x)$, quindi, vi sono due polinomi che interpolano i dati ma di gradi diversi. Simile potrei dire per $m=n+1$, quindi, dove sbaglio ?

Saluti.

[otta96]

Se prendi un grado troppo basso non riesci a interpolare a meno di una scelta specifica dei nodi, se l prendi troppo alto rimane un parametro di libertà che ti permetterebbe di interpolare un altro nodo e quindi salta l'unicità.

[compa90]

Ciao, faccio questo ragionamento, dimmi se è corretto:

Per semplicità suppongo di avere, due punti $P_1=(x_0,y_0), P_2=(x_1,y_1)$, con $x_0\ne x_1$.
Il problema è di determinare il grado $m \in NN_0$ di $p(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m$ in modo da soddisfare le condizioni di interpolazione $p(x_0)=y_0, p(x_1)=y_1$.In tal caso ho $n=1$, e $m\ge 0$.

Caso $m=0\nen$, quindi $p(x)=a_0$, in tal caso sono soddisfatte le condizione di interpolazione se $y_0=a_0=y_1$
Caso $m=1=n$, quindi $p(x)=a_0+a_1x$, in tal caso sono soddisfatte le condizioni di interpolazione poiché, per due punti passo una sola retta.
Caso $m=2>1=n$ quindi si ha $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$, quindi, imponendo le condizioni di interpolazione si determina il sistema $Va=y$, dove in forma esplicita

\( \displaystyle \begin{cases}
a_0+ a_1x_0 + a_2x_0^2=y_0 \\
a_0+ a_1x_1 + a_2x_1^2=y_1 \\
\end{cases} \)

le nostre incognite sono $a_0,a_1,a_2$, quindi la matrice $V$, è

$$
\begin{vmatrix}
1 & x_0 & x_0^2\\
1 & x_1 & x_1^2\\
\end{vmatrix}
$$

la matrice completa è
\begin{vmatrix}
1 & x_0 & x_0^2|y_0\\
1 & x_1 & x_1^2|y_1\\
\end{vmatrix}
$$

Ora si ha $r(V)\le mbox{min}(2,3)$ e $r(V|y)\le mbox{min}(2,4)$, per cui $r(V), r(V|y) \le 2$.
Dal teorema di R.C. si ha che il sistema ammette soluzioni se e solo se $r(V)=r(V|y)$, ed in tal caso ammette $∞^{3-r}$, dove $r:=r(V)=r(V|y)$, poiché $r\le 2$ allora non vi è unicità, perché l'unicità è data quando $r=3$.


Può andare bene come discussione ?

Ciao

[otta96]

Si, l'esempio che hai fatto fa capire bene come vanno le cose anche in generale.

[compa90]

Grazie per le risposte.