Di questa rete, dove $ v_{g}(t) = e^{-3t}u(t) $ , mi viene richiesto di determinare l'andamento nel tempo della tensione ai capi del resistore 3 (nel verso indicato) e la funzione di trasferimento della rete utilizzando come grandezze $ V_{u} (s) $ e $ V_{g} (s) $ . I due condensatori sono inizialmente scarichi.
Procedo con l'elaborazione del mio ragionamento.
L'analisi viene svolta nel dominio di Laplace, scegliendo l'approccio dei potenziali nodali. Partendo da sinistra, osservando l'immagine della rete, abbiamo i nodi A, B e C. Il nodo D è quello inferiore, messo "a terra" (a potenziale nullo). Scrivendo le LKC ai nodi, prese le correnti entranti nel nodo come positive, arrivo ad avere
$ [ ( -(G_1 + \frac{1}{Z_{C_2}}) , 0 , \frac{1}{Z_{C_2}} ),( 0 , (G_2 + \frac{1}{Z_{C_1}}) , -G_2 ),( \frac{1}{Z_{C_2}} , G_2 , -(G_2 + G_3 + \frac{1}{Z_{C_2}}) ) ] [ ( e_A ),( e_B ),( e_C ) ] =[ ( I_g ),( I_g ),( 0 ) ] $
E, sostituendo i valori, abbiamo
$ [ ( -(1+s) , 0 , s ),( 0 , (1+s) , -1 ),( s , 1 , -(\frac{3}{2} + s) ) ] [ ( e_A ),( e_A + \frac{1}{s+3} ),( e_C ) ] =[ ( I_g ),( I_g ),( 0 ) ] $
Ora, da questo sistema, viene fuori $ V_{u}(s) = - \frac{s+1}{(s+3)(s+2)} $ . La soluzione è tuttavia $ V_{u}(s) = - \frac{s-1}{(s+3)(s+2)} $ . Dov'è l'errore?
Volendo fare una considerazione, ha effettivamente senso che al numeratore ci sia $ (s-1) $ . Infatti, se guardiamo cosa succede quando $ s=0 $ , abbiamo che i condensatori sono dei circuiti aperti e la tensione sul resistore 3 è positiva (la corrente esce dal polo positivo del generatore ed entra in quello negativo, quindi la convenzione dell'utilizzatore sul resistore è rispettata).
Nel dominio del tempo la situazione non migliora. Impiegando il circuito resistivo equivalente ed il principio di sovrapposizione degli effetti, arrivo alle equazioni
$ { ( i_{C_1} = -\frac{3}{2} v_{C_1} - \frac{1}{2} v_{C_2} ),( i_{C_2} = \frac{1}{2} v_{C_1} - \frac{3}{2} v_{C_2} ):} $
Calcolando gli autovalori $ \lambda $ abbiamo $ det( \lambda I -A) = \lambda ^2 + 3\lambda + 5/2 $ . Anche qui il risultato è lontano da come dovrebbe essere. Spero che qualcuno possa essere così gentile da illuminarmi sugli errori commessi nel primo e nel secondo approccio.
