[fondamenti di automatica] Diagramma di Bode

[paolo1712]

Buongiorno, vorrei chiedere un chiarimento riguardante la rappresentazione grafica di Bode, nello specifico il grafico delle ampiezze.
Mi chiedevo, una volta tracciati i poli e gli zeri con le dovute pendenze e inizio il tracciamento del grafico sommante, nel momento in cui traccio il grafico e incontro il primo polo/zero, come faccio a capire dove mi devo fermare rispetto alle ordinate?
Per esempio nell'esercizio che ho allegato, non capisco perché partendo da $30 dB$ (il guadagno k) mi dovrei fermare in $16dB$ per il primo polo e poi per il secondo in $-24dB$.
grafico


traccia


vi ringrazio in anticipo per il vostro tempo

[ingres]

Il diagramma asintotico di modulo si basa sul fatto che se si ha un termine del tipo

$1/(1+s*tau)$ ovvero $1/(1+j omega*tau)$ e quindi di modulo $1/sqrt(1+omega^2 tau^2)$

questo può essere approssimato come

$1$ se $omega<1/abs(tau)$
$1/(omega*abs(tau))$ se $omega> 1/abs(tau)$

Nel caso in questione abbiamo $1/abs(tau_1) = 1/0.5 =2$ e $1/abs(tau_2) = 1/0.1 = 10$ e quindi

$abs(G(omega)) = 30 = 29.5 dB$ per $omega < 2$

$abs(G(omega)) = 30/(0.5*omega)=60/omega$ per $2<omega <10$

$abs(G(omega)) = 30/(0.5*omega)*1/(0.1*omega) = 600/omega^2$ per $omega > 10$

Da queste relazioni in particolare si ha

$abs(G(10)) = 6 = 15.6 dB$

Poi non ci si ferma nel punto $omega = 100$ perchè il grafico prosegue con pendenza -2, ma comunque per tale punto vale:

$abs(G(100)) = 600/10000 = 0.06 = -24.4 dB$

Questo analiticamente.
Graficamente è anche più semplice perchè ad ogni polo (e zero) che si incontra via via si cambia opportunemente la pendenza e si va avanti.

[paolo1712]

Grazie per la risposta!
invece in questo caso?
$G(s)=(10(s+5)(s+10))/(s^2+21s+60)$
Ho calcolato gli zeri e i poli facendo $1/tau$ poi ho calcolato le pendenze di tutti che sono: per gli zeri a fase minima ho una retta di pendenza $20(dB)/"dec"$ e per i poli a fase minima una pendenza di $-20 (dB)/"dec"$.
Arrivato qui come procedo? sostituisco lo zero 3,41 in $G(w)$?
perchè non mi trovo con il grafico fatto da mathlab

[ingres]

Riscritta in forma di Bode abbiamo

$G(s) = 25/3 ((1+s/5)*(1+s/10))/((1+s/17.59)(1+s/3.41))$

Quindi il grafico parte con un guadagno di 25/3 ovvero $20 log_10(25/3)= 18.4text( dB)$. Poi incontra successivamente

$omega = 3.41$ polo
$omega = 5$ zero
$omega = 10$ zero
$omega = 17.59$ polo

Quindi il diagramma asintotico di modulo a 3.41 comincerà a scendere con pendenza -1, poi a 5 si appiattirà con pendenza nulla, a 10 tenderà a salire con pendenza +1 per poi appiattirsi a 17.59 con pendenza nulla.

A regime quindi avrà pendenza nulla con guadagno 10 (limite per $s -> infty$) ovvero 20 dB.

Il grafico reale non è molto aderente perchè zeri e poli sono in questo caso molto ravvicinati. Quando si è esattamente su un singolo polo il suo contributo dovrebbe essere 0 dB ma in realtà il grafico vero del modulo è -3 dB sotto quello asintotico. In modo speculare per uno zero il grafico reale nella pulsazione dello zero è +3 dB sopra.

Se tieni conto anche in modo approssimato di questi errori, il grafico di Matlab si giustifica molto bene.

[paolo1712]

perchè quando incontra il primo polo (3,41) scende fino a $17$ dB circa? come si calcola questo valore?

[ingres]

Il valore esatto a 3.41 è calcolabile sommando i singoli contributi in dB ovvero

$abs(1/(1+jomega/3.41))=1/sqrt(1+(3.41/3.41)^2) = 1/sqrt(2) = 0.707 = -3.0 text( dB)$
$abs(1+jomega/5)=sqrt(1+(3.41/5)^2) = 1.21 = 1.6 text( dB)$
$abs(1+jomega/10)=sqrt(1+(3.41/10)^2) = 1.06 = 0.5 text( dB)$
$abs(1/(1+jomega/17.59))=1/sqrt(1+(3.41/17.59)^2) = 0.98 = -0.2 text( dB)$

$G(3.41) = 18.4 - 3 + 1.6 + 0.5 - 0.2 = 17.3 text( dB)$

In maniera approssimata si sa che per $omega = p$ l'errore è 3 dB e per $omega = p/2$ oppure per $omega = 2p$ l'errore è 1 dB.
Trascurando quindi lo zero a 10 e il polo a 17.59, e siccome 3.41 è circa a metà strada da 2.5 e 5 ammettiamo che l'errore per lo zero sia 2 dB.

$G(3.41) approx 18.4 - 3 + 2 = 17.4 text( dB)$