[RISOLTO, Elettrotecnica] Dubbio su rete del secondo ordine

Ciao a tutti. Nell'analisi della rete che indicherò qui di seguito, ho riscontrato un problema nella parte finale: un segno mi porta ad avere un risultato che differisce dalla soluzione offerta dall'autore. Dunque




Di questa rete, dove $ v_{g}(t) = e^{-3t}u(t) $ , mi viene richiesto di determinare l'andamento nel tempo della tensione ai capi del resistore 3 (nel verso indicato) e la funzione di trasferimento della rete utilizzando come grandezze $ V_{u} (s) $ e $ V_{g} (s) $ . I due condensatori sono inizialmente scarichi.
Procedo con l'elaborazione del mio ragionamento.
L'analisi viene svolta nel dominio di Laplace, scegliendo l'approccio dei potenziali nodali. Partendo da sinistra, osservando l'immagine della rete, abbiamo i nodi A, B e C. Il nodo D è quello inferiore, messo "a terra" (a potenziale nullo). Scrivendo le LKC ai nodi, prese le correnti entranti nel nodo come positive, arrivo ad avere
$ [ ( -(G_1 + \frac{1}{Z_{C_2}}) , 0 , \frac{1}{Z_{C_2}} ),( 0 , (G_2 + \frac{1}{Z_{C_1}}) , -G_2 ),( \frac{1}{Z_{C_2}} , G_2 , -(G_2 + G_3 + \frac{1}{Z_{C_2}}) ) ] [ ( e_A ),( e_B ),( e_C ) ] =[ ( I_g ),( I_g ),( 0 ) ] $
E, sostituendo i valori, abbiamo
$ [ ( -(1+s) , 0 , s ),( 0 , (1+s) , -1 ),( s , 1 , -(\frac{3}{2} + s) ) ] [ ( e_A ),( e_A + \frac{1}{s+3} ),( e_C ) ] =[ ( I_g ),( I_g ),( 0 ) ] $
Ora, da questo sistema, viene fuori $ V_{u}(s) = - \frac{s+1}{(s+3)(s+2)} $ . La soluzione è tuttavia $ V_{u}(s) = - \frac{s-1}{(s+3)(s+2)} $ . Dov'è l'errore?
Volendo fare una considerazione, ha effettivamente senso che al numeratore ci sia $ (s-1) $ . Infatti, se guardiamo cosa succede quando $ s=0 $ , abbiamo che i condensatori sono dei circuiti aperti e la tensione sul resistore 3 è positiva (la corrente esce dal polo positivo del generatore ed entra in quello negativo, quindi la convenzione dell'utilizzatore sul resistore è rispettata).

Nel dominio del tempo la situazione non migliora. Impiegando il circuito resistivo equivalente ed il principio di sovrapposizione degli effetti, arrivo alle equazioni
$ { ( i_{C_1} = -\frac{3}{2} v_{C_1} - \frac{1}{2} v_{C_2} ),( i_{C_2} = \frac{1}{2} v_{C_1} - \frac{3}{2} v_{C_2} ):} $
Calcolando gli autovalori $ \lambda $ abbiamo $ det( \lambda I -A) = \lambda ^2 + 3\lambda + 5/2 $ . Anche qui il risultato è lontano da come dovrebbe essere. Spero che qualcuno possa essere così gentile da illuminarmi sugli errori commessi nel primo e nel secondo approccio.

Ultima modifica di xh144fata il 02/07/2024, 16:23, modificato 1 volta in totale.

... Dov'è l'errore?...

Semplicemente nel tuo calcolo, a partire da quel sistema, che è corretto.

Nel dominio del tempo, spento il generatore, tagliata in due la rete¹, per esempio lasciando da una parte solo R3, avrai che uguagliando a zero la somma delle due impedenze viste a destra e a sinistra del taglio avrai semplicemente la serie di due RC in parallelo a sinistra e solo R3 a destra, di conseguenza avrai

$2(1/(1+s))+2=0$

e quindi un solo autovalore, s=-2.

Visto poi il "particolare" generatore, avrai anche il secondo.

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Note

1. Come ti avevo già suggerito in passato. ↑

Mi chiedo: perché non controllare la soluzione del sistema per verificare se il problema sta nel calcolo?

Io, ovviamente, ho seguito quella strada.

... Dov'è l'errore?...

Semplicemente nel tuo calcolo, a partire da quel sistema, che è corretto.

Caro Renzo, anche stavolta hai fatto il miracolo! Ho finalmente trovato l'errore che mi stava facendo impazzire.

Nel dominio del tempo, spento il generatore, tagliata in due la rete, per esempio lasciando da una parte solo R3, avrai che uguagliando a zero la somma delle due impedenze viste a destra e a sinistra del taglio avrai semplicemente la serie di due RC in parallelo a sinistra e solo R3 a destra, di conseguenza avrai

$ 2(1/(1+s))+2=0 $

e quindi un solo autovalore, s=-2.

Visto poi il "particolare" generatore, avrai anche il secondo.

Ricordo un suggerimento del genere da parte tua, ma devo ammettere che non gli ho dato la giusta importanza. Questa operazione della quale parli, si basa su qualche teorema, oppure ha un nome che posso usare per ricercare una trattazione più estesa?

Mi chiedo: perché non controllare la soluzione del sistema per verificare se il problema sta nel calcolo?

Io, ovviamente, ho seguito quella strada.

Intendi con i determinanti delle varie matrici? Non l'ho proprio presa in considerazione, dato che a termine noto ho $ I_g $ che non conosco.

Tornando al circuito resistivo equivalente (per quanto possa essere poco efficiente), spento il generatore $ v_g $ , ho sfruttato serie e paralleli che vengono fuori attivando un generatore alla volta. Come mai arrivo ad una conclusione sbagliata?

Visto che era semplice verificare la correttezza del tuo sistema, il metodo che ho usato per controllare i tuoi calcoli è il seguente

... Calcolando gli autovalori $ \lambda $ abbiamo $ det( \lambda I -A) = \lambda ^2 + 3\lambda + 5/2 $ ...

In questo metodo c'è un segno sbagliato in una delle correnti.

Visto che era semplice verificare la correttezza del tuo sistema, il metodo che ho usato per controllare i tuoi calcoli è il seguente

Non per i sistemi, ma Wolfram è uno strumento che uso molto

In questo metodo c'è un segno sbagliato in una delle correnti.

Anche cambiando un segno, quello che ottengo è $ \lambda^2 +3 \lambda +2 $ , che risolta non mi restituisce $ \lambda_1 = -3 $ e $ \lambda_2 = -2 $ . Sono questi gli autovalori giusti, no?

Certo, ma avendo spento il generatore il polo s=-3 non lo vedi; in questo caso, oltre al polo s=-2, vedi un polo a s=-1 che però, in questa rete, viene "cancellato" da uno zero di pari valore.

Certo, ma avendo spento il generatore il polo s=-3 non lo vedi; in questo caso, oltre al polo s=-2, vedi un polo a s=-1 che però, in questa rete, viene "cancellato" da uno zero di pari valore.

Fin qui ci siamo. Ora, però dobbiamo considerare anche il generatore, giusto? Arriviamo allora ad avere qualcosa del tipo $ v_{C_2}'' + 3v_{C_2}' + 2v_{C_2} = \frac{7}{4} e^{-3t} $ , dove bisogna ricavare la soluzione omogenea e quella particolare. Le condizioni iniziali per la soluzione omogenea dovrebbero essere $ { ( v_{C_2} (0^-) =0 ),( v_{C_2}' (0^-)= -1 ):} $ , o sbaglio?