[RISOLTO, Elettrotecnica] Dubbio su rete del secondo ordine

Io, come sempre, per far prima, preferisco seguire una mia strada risolutiva: scrivendo i tre contributi, se non erro,

$ { ( i_{C_1} = -\frac{3}{2} v_{C_1} - \frac{1}{2} v_{C_2} +3/2 e^{-3t }),( i_{C_2} =- \frac{1}{2} v_{C_1} - \frac{3}{2} v_{C_2}+3/2 e^{-3t } ):} $

Vista la perfetta simmetria, avremo che $v_{C_1}=v_{C_2}$; di conseguenza basterà risolvere una sola equazione differenziale del primo ordine

$ i_{C} = -2 v_{C} +3/2 e^{-3t } $

per l'evoluzione libera avremo quindi un solo autovalore $\lambda=-2$ mentre per la risposta forzata, che sarà del tipo $A e^{-3t}$, potremo facilmente ottenere $A=-3/2$, ne segue che

$v_C(t)=B e^(-2t)-3/2 e^{-3t }$

che con la condizione iniziale

$v_C(0)=0$

porterà a

$v_C(t)=3/2 e^(-2t)-3/2e^(-3t)$

per concludere

$v_u(t)=v_1-v_g+v_2=2v_C-v_g=3e^(-2t)-4e^(-3t)$

Innanzi tutto grazie, comprendo quanto dici, ma il mio problema è il calcolo del contributo di $v_g $ . Se ho attivo solo $v_g $ , allora la situazione è



Se vedo dei cortocircuiti, mi viene da pensare che la corrente, preferendo sempre il tragitto con meno resistenza, ignori tutto il resto in favore dei cortocircuiti. Seguendo questo "modo di pensare", $ R_2 $ ed $ R_3 $ , verrebbero ignorati ed avrei un circuito costituito dal generatore a da $ R_1 $ . Così, non vado lontano, infatti risulterebbero $ { ( i_(C_1} = v_g ),( i_{C_2} = 0 ):} $ .
Provando a vederla in un altro modo, possiamo immaginare che la rete in figura sia equivalente a




dove la corrente $ i_{C_1} $ sia quella che entra nel parallelo di $ R_2 $ e $ R_3 $ , mentre $ i_{C_2} $ sia la corrente che esca da questo parallelo. In questo modo, abbiamo che
$ { ( i_{C_1} = \frac{v_g}{R_p} = \frac{3}{2} v_g ),( i_{C_2} = \frac{v_g}{R_p} = \frac{3}{2} v_g):} $ . E' questo il ragionamento, o sono ancora fuori strada?

Sei ancora fuori strada, non devi modificare nulla nella prima rete che hai tracciato, le correnti che devi determinare sono quelle che attraversano i due cortocircuiti che rappresentano i condensatori, ovviamente con il corretto verso, semplicemente usando la legge di Ohm per i tre rami resistivi e due opportune KCL.

Sei ancora fuori strada, non devi modificare nulla nella prima rete che hai tracciato, le correnti che devi determinare sono quelle che attraversano i due cortocircuiti che rappresentano i condensatori, ovviamente con il corretto verso, semplicemente usando la legge di Ohm per i tre rami resistivi e due opportune KCL.

Che le correnti da trovare siano quelle relative ai condensatori, non c'è dubbio. Però, a parte il disegno stravolto, se andiamo a guardare le LKT viene fuori che i resistori sono tutti in parallelo al generatore, o sbaglio? Per questo con vedo come le LKC possano aiutarmi.

... viene fuori che i resistori sono tutti in parallelo al generatore, o sbaglio? ...

Non sbagli.

... Per questo non vedo come le LKC possano aiutarmi.

Qui invece sbagli.

Perché non provi a seguire la strada che ti ho consigliato, indicando nel tuo primo schema, su ognuno dei tre resistori, la relativa corrente

Perché non provi a seguire la strada che ti ho consigliato, indicando nel tuo primo schema, su ognuno dei tre resistori, la relativa corrente

Ora ti spiego le mie perplessità, non è che non ci abbia provato. Se andiamo a ragionare in termini di LKC, andiamo anche ad introdurre l'incognita $ i_g $ : la corrente erogata dal generatore non la conosciamo.
Se poi introduciamo le relazioni tensione-corrente di ogni resistore con la legge di Ohm, abbiamo anche le tensioni ai capi di ciascun resistore come incognite. Perciò ti dicevo che non capisco come mai tu scelga di usare le LKC.

Premesso che non è necessario considerare la corrente ig e che le tensioni ai morsetti dei resistori sono banalmente note, e non incognite, il mio consiglio era il seguente



schema dal quale, usando due KCL al nodo D e al nodo C, avremo

$i_1=v_g/R_1+v_g/R_3$

$i_2=v_g/R_2+v_g/R_3$

Premesso che non è necessario considerare la corrente ig e che le tensioni ai morsetti dei resistori sono banalmente note, e non incognite, il mio consiglio era il seguente



schema dal quale, usando due KCL al nodo D e al nodo C, avremo

$i_1=v_g/R_1+v_g/R_3$

$i_2=v_g/R_2+v_g/R_3$

Ah, quanta pazienza che hai, Renzo! Perdonami, avevo capito di usare SOLO le LKC e la legge di Ohm, ignorando le LKT
Devo dire che la scelta del nodo A da parte mia è stata davvero poco furba.
Ti ringrazio tanto per la disponibilità, Renzo. Un'ultima cosa. Tornando a

Nel dominio del tempo, spento il generatore, tagliata in due la rete, per esempio lasciando da una parte solo R3, avrai che uguagliando a zero la somma delle due impedenze viste a destra e a sinistra del taglio avrai semplicemente la serie di due RC in parallelo a sinistra e solo R3 a destra

c'è qualcosa che posso leggere a riguardo? Non mi è ben chiaro da dove derivi questo metodo e prima di provare ad usarlo vorrei conoscerne qualche dettaglio in più.

Come penso di averti già detto in passato, non ricordo nessun testo che tratti rigorosamente la ricerca dei poli e degli zeri, via "semplice" ispezione della rete, ti linko comunque un paio di pdf sull'argomento che ho recuperato nei miei archivi; il primo di "base" il secondo di "altezza"

https://www.calameo.com/read/000011644a407dbcbcecf

https://www.calameo.com/read/0000116448bfe671836f6

Come penso di averti già detto in passato, non ricordo nessun testo che tratti rigorosamente la ricerca dei poli e degli zeri, via "semplice" ispezione della rete, ti linko comunque un paio di pdf sull'argomento che ho recuperato nei miei archivi; il primo di "base" il secondo di "altezza"

https://www.calameo.com/read/000011644a407dbcbcecf

https://www.calameo.com/read/0000116448bfe671836f6

Grazie, Renzo. Sei sempre una miniera di informazioni Eppure è strano che non ci sia un testo dedicato a quest'argomento. Leggerò avidamente i pdf da te condivisi, sperando di acquisire un altro strumento utile per il mio percorso.
Sì, il secondo è sicuramente un altro livello