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Ragazzi, oggi il professore ha detto una cosa che mi ha confuso tutte le idee riguardo alle operazioni effettuabili tra le righe e colonne di una matrice ( domani ho l'esonero). L'esercizio è: ci sono tre vettori di $RR^3$ che generano un sottospazio vettoriale, determinare una base del suddetto sottospazio.
Allora scriviamo la matrice dei coefficenti dei vettori rispetto alla base canonica di $RR^3$, mettendo i vettori nelle righe. Dopodichè effettuiamo le operazioni elementari sulle righe per rendere la matrice a scala. Poi qualcuno è intervenuto chiedendo se era possibile mettere i vettori per colonne e fare le operazioni elementari sulle righe. Il professore ha detto di si. Poi al tutoraggio, in un esercizio simile hanno messo i vettori per colonna, facendo le operazioni sulle righe, e poi qualcuno ha chiesto se era possibile fare operazioni sulle colonne, ed il professore ha detto che in questo modo si cambiano le soluzioni del sistema associato alla matrice ma non il rango.
Ora ho le idee completamente confuse, non capisco piu come devi metterli sti benedetti vettori. Chi mi può dare una mano ?

Se domani hai l'esonero non ti confondere le idee proprio adesso. Le operazioni elementari falle sempre per righe, perché è fool-proof: quando hai un sistema

$Ax=b$,

operando sulle righe non ne cambi le soluzioni. Se avessi un sistema

$xA=b$,

dovresti operare sulle colonne, ma questi sistemi non li avrai mai. Quindi: nel dubbio operazioni solo sulle righe.

Riguardo la tecnica della riduzione per righe per estrarre una base da un sistema di generatori, qui non puoi sbagliare. E' la stessa cosa scrivere i vettori in riga o in colonna. Questo è collegato al fatto che il rango per righe e il rango per colonne di una matrice coincidono.

Ok, grazie mille per il consiglio. Però, se faccio le operazioni elementari sulle righe, devo aver messo i vettori per righe? Adesso mi spiego meglio:
Siamo in $RR^4$ ed ho tre vettori:
$v_1=|(1),(0),(3),(1)|$
$v_2=|(3),(0),(4),(-2)|$
$v_3=|(1),(1),(-1),(-1)|$
Devo determinare se sono linearmente indipendenti o no.
Allora scrivo la matrice $((1,3,1),(0,0,1),(3,4,-1),(1,-2,-1))$
Ora posso operare per righe? Anche se i vettori li ho messi per colonne? (fino a ieri ero sicuro di si).

Ti ripeto: operazioni sempre sulle righe. I vettori mettili come vuoi, in riga oppure in colonna, tanto il risultato sarà sempre lo stesso.

Ok, ti ringrazio!

E se voglio trovare una base del sottospazio generato da quei vettori? (nel caso dell'esercizio potrei prendere la base canonica, ma mettiamo che il sottospazio generato non coincida con l'ambiente). Una volta ridotta la matrice a scala, posso prendere i vettori rimasti sulle colonne?

Senti, sono 99% sicuro di si, ma adesso non ho tempo di controllare per bene. Invece sono certo del fatto che, se hai vettori $(a_{1, 1}, \ldots , a_{1, n}), \ldots (a_{m, 1}, \ldots, a_{m, n})$ e li consideri come vettori riga, disponendoli uno sull'altro:

$((a_{1, 1}, \ldots , a_{1, n}),( \vdots, \vdots, \vdots), (a_{m, 1}, \ldots, a_{m, n}))$

poi applichi operazioni elementari sulle righe, non ne alteri l'indipendenza lineare. Quindi puoi ridurre a scala operando per righe e, se non hai fatto degli scambi, le righe con pivot (prima entrata non nulla) sono una base del sottospazio generato da

$(a_{1, 1}, \ldots , a_{1, n}), \ldots (a_{m, 1}, \ldots, a_{m, n})$.

Ancora: nel dubbio, scrivi i vettori come fossero delle righe e poi applica operazioni per righe. Così è sicuramente giusto.

Va bene, grazie ancora