Matematicamente.it

Salve a tutti, studiando Geometria sul Marco Abate mi sono imbattuto nella definizione di matrice associata ad una forma bilineare (o forma sesquilineare per il caso complesso). Nel paragrafo, l'autore definisce la matrice attraverso i seguenti passaggi (affronto qui il caso della forma bilineare, essendo il caso complesso molto simile):
"Sia $g$ una forma bilineare qualunque su $V$. Scelta una base $B = {v_1,..., v_n}$ di $V$, per $v, w in V$ indichiamo con $x, y in R^n$ rispettivamente le coordinate di $v$ e $w$ rispetto a $B$. Allora si ha

$g(v, w) = g(x_1v_1 +...+ x_nv_n, y_1v_1 +...+ y_nv_n) = g(\sum_{k=1}^n x_kv_k, \sum_{h=1}^n y_hv_h) = \sum_{k=1}^n \sum_{h=1}^n [x_ky_hg(v_k, v_h)] $

Fin qui tutto bene, il problema è come procede da qui:
"Quindi, se introduciamo la matrice $S = (s_(hk))$ data da $s_(hk) = g (v_k, v_h)$ abbiamo
$g(v, w) = \sum_{h,k=1}^n y_hs_(hk)x_k = y^TSx$

Ecco, a questo punto resto confuso: controllando in giro online, ad esempio su wikipedia (https://it.m.wikipedia.org/wiki/Forma_bilineare), la matrice $S$ viene definita con $s_(hk) = g(v_h, v_k)$, conservando cioè la posizione degli indici. Mi chiedo quindi perché invece Abate senta la necessità di scambiare le posizioni, rendendo per altro il tutto più facile da confondere a mio avviso. Puro masochismo o mi sfugge qualcosa?

O si tratta di un errore, o è una convenzione che gli torna utile altrove, oppure da ora in poi si parlerà solo di forme simmetriche (per cui, siccome la tua S e la sua sono una la trasposta dell'altra, per forme simmetriche esse coincidono; il problema sorge con le antisimmetriche, dove \(S_\text{Abate}=-S_\text{Paz}\): ouch.)

In ogni caso, riguardo Abate e il tuo nick:

In effetti da qui in avanti tratta più che altro di prodotti scalari, ma anche hermitiani. La definizione che dà è sostanzialmente la stessa

$g(v, w) = \sum_{k=1}^n \sum_{h=1}^n [x_k \bar (y_h)g(v_k, v_h)] = \sum_{k,h=1}^n \bar (y_h)s_(hk)x_k = y^HSx$

Nel caso dei prodotti scalari posso stare sereno, in quanto la funzione è simmetrica. Con gli hermitiani invece c'è l'antisimmetria, perciò le due definizioni (quella di abate e quella più "usuale") danno risultati sostanzialmente diversi e devo fare maggiore attenzione, sbaglio?

Le due definizioni differiscono per una aggiunzione; significa che, per una matrice hermitiana, \(A^* = \overline{A}^t = A\). (\bar è la coniugazione complessa entrata per entrata)

megas_archon ha scritto:O si tratta di un errore, o è una convenzione che gli torna utile altrove, oppure da ora in poi si parlerà solo di forme simmetriche (per cui, siccome la tua S e la sua sono una la trasposta dell'altra, per forme simmetriche esse coincidono; il problema sorge con le antisimmetriche, dove \(S_\text{Abate}=-S_\text{Paz}\): ouch.)

In ogni caso, riguardo Abate e il tuo nick:

Grande citazione, quello è Pompeo mi pare

No, macché! E' Colas.