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derivata seconda della delta di dirac
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Inviato:
12/09/2010, 13:05
da ack6
ragazzi cercando di fare la derivata distribuzionale seconda del seguente segnale e cioè cercando di calcolare:
$ D^2 [P_4 (t / 2-1) ] $
Dove P4 è la porta di ampiezza 4. mi viene un dubbio atroce subito dopo la derivata prima che mi risulta essere:
$ D^1 [P_4 (t / 2-1) ] = delta (t / 2+1)- delta (t / 2-3)$
a questo punto dovrei calcolare la derivata seconda dovrei calcolare le derivate delle $delta$ , la mia domanda è: le derivate delle due $ delta$ non sono nulle?
e quindi il risultato finale sarebbe zero.
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Inviato:
12/09/2010, 13:26
da gugo82
La derivata distribuzionale della \( \displaystyle \delta \) non è nulla.
Per provarlo, usiamo la definizione: prendiamo una funzione test $ \( \displaystyle \varphi$ \) e scriviamo:
\( \displaystyle \langle \text{D}\delta ,\varphi \rangle =-\langle \delta ,\varphi^\prime \rangle =-\varphi^\prime (0) \)
sicché \( \displaystyle \text{D} \delta \) non è la distribuzione nulla.
Ovviamente \( \displaystyle \text{D}\delta \) è qualcosa di non intuitivamente rappresentabile con facilità; di solito gli ingegneri usano come simbolo di \( \displaystyle \text{D}\delta \) una freccia (come quella usata per la \( \displaystyle \delta \) ) con uno zig-zag a metà dell'asticella.
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Inviato:
12/09/2010, 13:40
da ack6
Consideriamo il primo membro della derivata prima:
$ delta ( t/2 +1) $
questa non può essere vista come :
$ (: Ddelta,1 :) $ ?
e dunque essendo la derivata prima di 1 nulla si avrebbe:
$ delta ( t/2 +1) = 0 $
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Inviato:
12/09/2010, 13:48
da gugo82
No.
Per definizione la derivata di una distribuzione \( \displaystyle F \) è quella distribuzione \( \displaystyle G \) tale che per ogni test \( \displaystyle \varphi \in C_c^\infty \) risulta:
\( \displaystyle \langle G,\varphi \rangle =-\langle F,\varphi^\prime \rangle \) ;
la derivata si denota con \( \displaystyle \text{D} F \) , sicché la precedente si riscrive:
\( \displaystyle \langle \text{D} F,\varphi \rangle =-\langle F,\varphi^\prime \rangle \) .
Quindi, per sapere "come funziona" \( \displaystyle \text{D} \delta \) devi sapere come essa si comporta su tutti i test (non solo su qualcuno).
Inoltre, ricorda che la funzione \( \displaystyle 1 \) non è una funzione test, perchè essa non ha supporto compatto.
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Inviato:
12/09/2010, 14:03
da ack6
Quindi il risultato andrebbe indicato semplicemente così:
$ delta'(t/2+1) -delta'(t/2-3 ) $
o sbaglio ?
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Inviato:
12/09/2010, 15:04
da gugo82
Prima di conferme/smentite, mi chiarisci com'è definito \( \displaystyle P_4(\tfrac{t}{2} -1) \) : in particolare, chi sono il centro, l'ampiezza e l'altezza della porta?
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Inviato:
12/09/2010, 15:17
da ack6
Il segnale $ P_T (t- t_0) $ ha:
altezza $ 1 $
centro $ t_0 $
ampiezza $ T $
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Inviato:
12/09/2010, 15:30
da gugo82
ack6 ha scritto:Il segnale $ P_T (t- t_0) $ ha:
altezza $ 1 $
centro $ t_0 $
ampiezza $ T $
Quindi è qualcosa del tipo \( \displaystyle P_T (t-t_0)=\text{u} (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\text{u} (t-(t_0+\tfrac{T}{2})) \) con:
\( \displaystyle \text{u}(t)=\begin{cases} 0 &\text{, se $t<0$}\\ 1 &\text{, se $t\geq 0$}\end{cases} \)
gradino unitario?
In tal caso:
\( \displaystyle \text{D} P_T (t-t_0) =\delta (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\delta (t-(t_0+\tfrac{T}{2})) \)
\( \displaystyle \text{D}^2 P_T (t-t_0) =\delta^\prime (t-(t_0-\tfrac{T}{2})) -\delta^\prime (t-(t_0+\tfrac{T}{2})) \)
se non mi inganno.
Però tieni presente che hai anche un \( \displaystyle \tfrac{1}{2} \) dentro l'argomento... Che però non capisco a cosa ti serva.
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Inviato:
12/09/2010, 15:38
da ack6
E' tutto corretto, ora ho capito, ti ringrazio molto mi sei stato di grande aiuto.
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Inviato:
12/09/2010, 16:15
da ideas56
seguendo la vostra discussione mi è sorto un dubbio. Sul libro di metodi (Codegone) c'e' scritto che
$ x(t)*delta'(t) = x(0)*delta'(t) - x'(0)*delta(t) $ dove x(t) è una test-funzione
che mi sembra un po discordante con la definizione data:
ovvero che
$ x(t)*delta'(t) = -x'(0) $
da dove esce quella formula ??
l' ho vista anche da altre parti ... ma non mi chiedo come possa derivare dalla definizione ..
Un saluto