Allora, l'altro giorno, facendo i calcoli in fretta, ho minimizzato la somma dei cateti invece che di cateto ed ipotenusa.
Ti racconto il procedimento, coi calcoli corretti.
I tre punti $P$, $H$ e $T$ individuano un piano $pi$, nel quale possiamo istituire un sistema di coordinate con origine in $P$, asse delle ascisse $xi$ passante per $H$ ed orientato da $P$ verso $H$ ed asse delle ordinate $eta$ passante per $T$ ed orientato da $P$ verso $T$.
Nel nuovo sistema di assi cartesiani $Oxi eta$ su $pi$:
- il punto $P$ ha coordinate $(0,0)$,
- il vertice $A=(1,1,0)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2 , 0)$,
- il vertice $B=(1,1,1)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2, 1)$,
- il punto $H$ ha coordinate $(xi_H,0)$ con $xi_H > sqrt(2)/2$,
- il punto $T$ ha coordinate $(0, eta_T)$, con $eta_T > 1$.
Visto che $H$, $B$ e $T$ sono allineati, essi appartengono ad una stessa retta di equazione $y-1=-m(x - sqrt(2)/2)$ (con $m>0$) ed, in particolare, ciò importa:
\[
\eta_T = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\qquad \text{e}\qquad \xi_H = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2m} = \frac{1}{m}\ \eta_T\; .
\]
Le somme delle lunghezze di $PH$ e $TH$ è:
\[
\begin{split}
f(m) &:= \xi_T + \sqrt{\xi_H^2 + \eta_T^2}\\
&= \frac{1}{m}\ \eta_T + \sqrt{\frac{1}{m^2}\ \eta_T^2 + \eta_T^2}\\
&= \eta_T \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)\\
&= \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\ \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)
\end{split}
\]
ed il minimo è $~~ 3.84552$ che si ottiene per $m ~~ 1.59792$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)