Ciao forum
E' il mio primo messaggio e apro con una domanda stolta.
Il prof ha parlato di compatti in $RR^n$ e ha detto che tutti i chiusi e limitati sono compatti (nel senso di successioni, ossia che ogni successione ha una sottosuccessione convergente).
Poi ha detto: "In R2 \ {0}, invece, l’insieme {∥x∥ ≤ 1} è chiuso e limitato ma non compatto"
E sinceramente non capisco perché, mi sembra che io abbia le stesse sottosuccessioni di prima, posso trovare un controesempio di sottosuccessione che non ha nessuna che converga?
Sono confuso e spero in una mano nella comprensione. CIao!
PS: ad esempio mi chiedo devo mostrare che chiuso limitato $!=>$ compatto, quindi nego la definizione edeto trovare che : esisite una successione t.c per ogni $x_k$ estratta non converge? E' una buona idea?