Vulplasir ha scritto:Secondo me tutta la questione nasce dalle nozioni imparate al liceo, che ovviamente non sono le stesse impartite da un corso di analisi matematica all'università.
Questo aspetto ha sicuramente il suo peso.
Tuttavia è pacifico che, in generale, su testi di livello superiore si trovino spiegazioni più esaustive che su quelli di rango inferiore (anche se non è poi sempre vero). Potremmo anche dire che quello che volevo capire e se si tratta di una lecita semplificazione, che come altre può avere la sua utilità didattica, o meno.
Vulplasir ha scritto:Ecco la definizione di funzione insegnata a me:
Siano $ A $ e $ B $ due insiemi non vuoti, una funzione da $ A $ a $ B $ è un sottoinsieme $ f $ di $ AxxB $ tale che:
$ AA a in A, EE! b in B : (a,b) in f $
$ A $ è detto dominio, $ B $ codominio.
Quindi dominio e codominio fanno parte della definizione di funzione stessa, vengono dati a priori, senza sapere cos'è una funzione non si può nemmeno dire cos'è l'immagine.
A parte che non tutti i testi, neppure universitari, riportano una definizione esattamente equivalente ... questa evidentemente sarà migliore. Lasciami comunque dire che:
- sul concetto di "vengono dati a priori" ho già sollevato qualche perplessità logica ... comunque poco male se è così è così.
- probabilmente sono io che non capisco ma tale definizione mi sembra lasciare aperta la possibilità che esistano elementi $a$ appartenenti al dominio $A$ ma non attribuibili alla funzione $f$. Il dominio non è proprio e strettamente l'insieme dei valori da cui la funzione "prende" i valori ?
- in ultimo, anzi in realtà era poi solo di questo che volevo parlare, mi sta bene che possono esistere dei valori $b$ appartenenti a $B$ ma che la funzione non può "restituire". Il problema è: perché dobbiamo lasciare questa possibilità?
Se questi elementi appartenenti al codominio ma non all'immagine hanno un'utilità vera e propria, e non ad uso e consumo di definizioni che, ripeto, sono comunque questionabili, mi potete mostrare un'esempio dove diventa palese ?
Poi, anche ammesso che esempi ci siano, possibile che la cosa migliore da fare sia lasciare arbitrarietà nell'ampiezza del codominio?
In definitiva quello che a me sembra, ma posso benissimo sbagliarmi, e che le definizioni semplicistiche dove si sottintende la coincidenza tra codominio ed insieme immagine non crei problemi per tutto ciò che segue ed anzi, se mai, ne eviti. Quindi se si tratta solo di aggiustare definizioni è questa che dovrebbe prevalere.
Poi ripeto probabilmente mi sbaglio e questa sarebbe cosa ne grave ne sorprendente.
Solo sarebbe stato meglio se alcuni maestri
![Question :?:](./images/smilies/icon_question.gif)
che sono intervenuti in precedenza invece di fare i bacchettoni avessero speso qualche riga per dare una spiegazione decente.