G.D. ha scritto:markowitz ha scritto:Ho capito, grazie. Tuttavia essendo una questione aperta propendo, almeno per le funzioni numeriche, per la definizione
"codominio=insieme delle immagini".
Ma anche no.
cosa intendi ? Che tale uguaglianza non è ammissibile ?
Fioravante Patrone ha scritto:axpgn ha scritto:Premesso che sta prendendo piede la definizione "codominio= insieme delle immagini",
oh mamma, spero di no!
Per me non è affatto una "questione aperta". Il codominio è una cosa, l'immagine un'altra.
Ragazzi, non sono certo io con le mie idee a poter dire se sia un'uguaglianza ammissibile o meno e quindi, in certo senso, una "questione aperta" o no. Mi limito ad osservare.
Tale uguaglianza effettivamente non mi sembra sia quella che va per la maggiore, tuttavia ho visto che non si tratta solo di una mia idea bizzarra ma è suggerita in qualche fonte. Ovvero qualcuno di autorevole la considera magari non condivisa ma comunque degna di cittadinanza. Axpgn poi ci dice che tale uguaglianza si sta anche diffondendo ed Antimius conferma la cosa a livello didattico, anche se entrambi sembrano non condividere la tendenza.
Che poi, considerando la distinzione "classica", si vada a parlare di cose distinte siamo d'accordo.
In definitiva si tratta, appunto, di definizioni ed intendevo appunto la definizione come questione aperta.
Nel contesto delle definizioni si può discutere ed io penso che debbano essere quelle che restituiscono minori problemi a dover prevalere.
In questo caso particolare può benissimo essere che alcuni problemi io non li veda ... ma mi sembra che l'uguaglianza dei concetti di codominio ed insieme delle immagini sia conveniente.
Provo ad elencare qualche spunto da cui parto:
- il "problema" è che nella definizione di funzione il dominio ed il codominio dovrebbero essere decisi
a priori (sbaglio ?) rispetto ad $f$ senza i quali $f$ in se stessa non avrebbe senso compiuto. In realtà, concettualmente, questo “a priori” mi sembra problematico. Qualche problema è già nel dominio.
- lo stesso concetto di
dominio infatti è in parte arbitrario, mentre non sarebbe arbitrario il cosiddetto i
dominio naturale (o campo di esistenza o insieme di definizione o ...). Esistono esercizi infatti in cui si chiede di "trovare il dominio" ma evidentemente si intende il dominio naturale. Quindi il dominio che scelgo “a priori” sarebbe da rivedere in qualche punto in modo da garantire almeno le condizioni di realtà (dominio naturale). Poi magari tolgo altri spazi per altri motivi. Ed allora vediamo che già il dominio, che non può essere che un sottoinsieme del dominio naturale (sbaglio ?), mi ha già costretto a ragionare su $f$. La “priori” l’ho già persa.
- il codominio è più arbitrario e può essere un insieme piccolo a piacere purchè, ragionando a partire dal dominio, che evidentemente è già deciso, contenga almeno tutto l'insieme immagine. In un testo ho letto che “il codominio è praticamente l’insieme di valori che la funzione “a priori” può assumere”. Per evitare di prendere un codominio "troppo piccolo" a volte si sottintende di considerare tutto $RR$. E' infatti evidente che volendo scegliere un codominio strettamente contenuto in $RR$ dovremmo già aver capito qualcosa di $f$ ovvero intuito uno spazio minimo per l'insieme immagine. Infatti, come sottolineato nel link postato, mentre chiedere qual'è il dominio di $f$ ha senso (dovremmo forse dire dominio naturale), non ha senso chiedere quale sia il codominio ... invece a senso chiedere l'insieme immagine ( quando è noto il dominio) vedi esercizi di Antimius.
Sembra quindi che il dominio sia arbitrario solo “in difetto” ovvero non può comunque eccedere il dominio naturale (e questo mi sta bene). Il codominio invece sarebbe arbitrario “in eccesso” ovvero deve comunque contenere l’insieme immagine e poi eventualmente anche altro. Perché? Che senso ha includere altri valori (arbitrari!) se la funzione non li può assumere? Potrei al massimo comprendere che si imponga sempre come codominio tutto $RR$ (soddisfiamo così sempre questo “a priori”) ed infatti a quanto o capito si fa, ma pare comunque cosa di scarsa utilità.
in termini pratici, tra le altre cose, l'esempio della parabola a cui mi riferivo rende evidente che con l'arbitrarietà nello scegliere il codominio abbiamo anche arbitrarietà della suriettività o meno della funzione parabola. Tali arbitrarietà mi sembrano poco piacevoli ed in ogni caso sono foriere di ambiguità che sicuramente non sono piacevoli.
A me sembra che la cosa più naturale sia ragionare solo su $f$, alla fine è lei che conta. Una volta scelta $f$, a mio parere, dovrebbe essere ormai tutto conseguenza. Il dominio naturale in effetti lo è, e l'insieme immagine anche lo è
a posteriori. Un dominio che restringo a piacere, causa applicazioni pratiche, lo posso ben capire. Un codominio che sia più ampio dell'insieme immagine invece non lo riesco a capire; mi pare un concetto con poco senso logico.
Fioravante Patrone ha scritto:Una funzione reale di variabile reale è $ f:A->RR $, con $ A \sube RR $.
Quindi il codominio è tutto $ RR $.
Anche delle funzioni $ \sin $, $ \cos $, delle parabole...
Perché? Perché gli analisti sono così pazzi, cosa se ne fanno?
Semplice. Se ho due funzioni reali posso sempre sommarle (sull'intersezione del loro dominio) e ottengo una funzione reale. Anche moltiplicarle, posso...
Forse hai ragione tu, forse non comprendo le implicazioni di ciò che ho scritto. Non sono un'analista. Però ad esempio so che se ho due variabili aleatorie con diverso supporto (dominio), es una Normale ed una Chi-Quadro, le posso sommare ed ottengo una nuova variabile aleatoria, una nuova cdf, che ha come dominio un'insieme che è l'unione dei due originari (in alcuni casi anche più grande) e come codominio posso considerare sempre $[0,1]$. Da ignorante suppongo che in generale sia solo una questione di "aggiustare" dominio e codominio.