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gugo82 ha scritto:Allora, l'altro giorno, facendo i calcoli in fretta, ho minimizzato la somma dei cateti invece che di cateto ed ipotenusa.

Ti racconto il procedimento, coi calcoli corretti.
I tre punti $P$, $H$ e $T$ individuano un piano $pi$, nel quale possiamo istituire un sistema di coordinate con origine in $P$, asse delle ascisse $xi$ passante per $H$ ed orientato da $P$ verso $H$ ed asse delle ordinate $eta$ passante per $T$ ed orientato da $P$ verso $T$.
Nel nuovo sistema di assi cartesiani $Oxi eta$ su $pi$:

• il punto $P$ ha coordinate $(0,0)$,
  
• il vertice $A=(1,1,0)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2 , 0)$,
  
• il vertice $B=(1,1,1)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2, 1)$,
  
• il punto $H$ ha coordinate $(xi_H,0)$ con $xi_H > sqrt(2)/2$,
  
• il punto $T$ ha coordinate $(0, eta_T)$, con $eta_T > 1$.

Visto che $H$, $B$ e $T$ sono allineati, essi appartengono ad una stessa retta di equazione $y-1=-m(x - sqrt(2)/2)$ (con $m>0$) ed, in particolare, ciò importa:
\[
\eta_T = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\qquad \text{e}\qquad \xi_H = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2m} = \frac{1}{m}\ \eta_T\; .
\]
Le somme delle lunghezze di $PH$ e $TH$ è:
\[
\begin{split}
f(m) &:= \xi_T + \sqrt{\xi_H^2 + \eta_T^2}\\
&= \frac{1}{m}\ \eta_T + \sqrt{\frac{1}{m^2}\ \eta_T^2 + \eta_T^2}\\
&= \eta_T \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)\\
&= \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\ \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)
\end{split}
\]
ed il minimo è $~~ 3.84552$ che si ottiene per $m ~~ 1.59792$.

Perfetto, ora è corretto (e pure in rima)!
Visto che ci sono, completo la risposta includendo i passaggi finali che avrai omesso per brevità (a beneficio dei giovani che leggeranno e proveranno in proprio a svolgere l'esercizio).

Giacché abbiamo da minimizzare una funzione nella sola variabile $m$, deriviamo e poi imponiamo il risultato della derivata prima uguale a zero.

Dunque bisognerà come prima cosa calcolare $f'(m)=\frac{\partial\left(\frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\ \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)\right)}{\partial m}$.

Con un po' di manipolazioni, giacché $m \in \mathbb{R}^+$ e dunque anche diverso da zero, si può infine giungere a riscrivere $f'(m)$ come $\frac{\sqrt{2} m^3 - 2 (\sqrt{m^2 + 1} + 1)}{2 m^2 \sqrt(m^2 + 1)}$ e di conseguenza $f'(m) = -\sqrt{2}m^3 + 2(m^2+1)^{\frac{1}{2}} + 2$.

Uguagliamo a zero il secondo termine, risolviamo questa equazione di terzo grado e cerchiamo il relativo punto stazionario (ignorando le soluzioni complesse coniugate che emergono), essendo ovviamente unico, reale e positivo il minimo di un problema di minimizzazione della somma di distanze (metrica euclidea). Pertanto $-\sqrt{2}m^3 + 2(m^2+1)^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ (che per $m>1$ è una funzione monotona strettamente descrescente che vale $2+\sqrt{2}$ in $m=1$ e che se ne va a $-\infty$ quando $m\rightarrow +\infty$) intersecherà l'asse delle $m$ in un solo punto con ascissa strettamente positiva, chiamiamolo $m_1$ e facciamolo calcolare a qualche sofware per evitare di finire in terapia.
Troviamo così il valore
$m_1 = 1/2 sqrt((2/3)^(2/3) (9 + sqrt(177))^(1/3) - 4 (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3)) + 1/2 sqrt(4 (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3) - (2/3)^(2/3) (9 + sqrt(177))^(1/3) + 4 sqrt(2/((2/3)^(2/3) (9 + sqrt(177))^(1/3) - 4 (2/(3 (9 + sqrt(177))))^(1/3)))) = 1.5979209335500320747647053507804655588278836 \ldots$.

Risostituendo $m_1$ in $\frac{2 + \sqrt{2}\ m_1}{2}\ \left( \frac{1}{m_1} + \sqrt{1 + \frac{1}{(m_1) ^2}}\right)$, si ottiene la lunghezza minima possibile di $\bar{PH} + \bar{HT}$, pari a $3.845518780346118374278741\ldots$.