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Non si capisce bene come sono quantificate le variabili che usi, comunque devi separare i criteri per determinare la chiusura di un insieme e quelli per determinare se un insieme è chiuso, se non fai confusione tra questi e ci ripensi dovresti venirne a capo, altrimenti lo riformuli in un modo più chiaro e mi richiedi.

Hai ragione ho fatto un casino la mia idea era che se prendo le xn che convergono a x (cioè prendo le xn→x) ciò vuol dire che prendo tutte le xn legate a una certa x, quindi dire "per ogni (xn→x)" è come dire "per ogni x, xn→x".
Ma credo questa sia una ciofecata si idea perché ripensandoci è insensato dire che dire "per ogni (xn→x)" è come dire "per ogni x, xn→x". perché quntificare (xn→x) non è granché sensato.


Dunque dunque...
E' chiusura di E

"Sia E contenuto in X, ∀X x appartiene alla chiusura di e se e solo se è limite di una successione a valori in E"

$forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)$

io poi so che E è chiuso se coincide con la chiusura: $E$ chiuso <=> $forallx,(x in E <=> x in E')$

Quindi mettendo assieme le due precedenti mi pare di ottenere:
$E$ chiuso <=> $forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x)$ (**)

e non:

Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E. Mi sembra giusto vero?

Questo sarebbe: E è chiuso <=> ogni suo punto è limite di una successione a valori in E
ossia: E chiuso <=> $forall x(x in E => ∃x_n : x_n->x$) e mi sembra mancare la <= richiesta in (**)

Spero di aver migliorato l'esposizine . Grazie!

Molto meglio, comunque l'ultima cosa è falsa perchè ogni insieme soddisfa la proprietà a destra dell'equivalenza.

Grazie.

Quindi sostanzialmente:
1)

Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E. Mi sembra giusto vero?

tradotto: E chiuso <=> $forall x(x in E => ∃x_n : x_n->x$)

è FALSO


2)
mente quanto ottenuto con quelle interpolazioni logiche
$E$ chiuso <=> $forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x)$

questo è VERO

Giusto?
Volevo solo esser certo
PS:

Si giusto, anche se andrebbe specificato che gli $x_n$ stanno in $E$.

Grazie, è vero è chiaro. Sei stato gentilissimo a chiarirmi le domande

Tutto era nato da voler dimostrare il se e solo se in rosso:
${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
se e solo se
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$(*)

che era la conclusione a cui ero arrivato sopra.

e quindi mi sono poi incastrato in vari ragionamenti simili da cui è figliata la domanda simile in logica:
$(∀y,P(y)=>∀x,Q(x))=>(∀z,(P(z)=>Q(z)))$

che una volta capita mi aiuterebbe anche a comprendere la (*) sul perché sia corretto operare così¹, perché ragionerei nello stesso modo. Il mio problema sono tutti questi quantificatori incapsulati che non so come gestire.

ma per questa rimando di là. E' che devo capirlo perché con la logica sono davvero un caprone e credo mi aiuterà anche in futuro

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krakken ha scritto:Tutto era nato da voler dimostrare il se e solo se in rosso:
${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
se e solo se
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$

Mi piacerebbe chiedervi @otta96 o @kraken, ma non ho capito se tu l'hai dimostrato alla fine o no, come si dimostra quel se e solo se? Oppure se nn vale il se e solo se se vale almeno una delle due implicazioni e come dimostrarla in quel caso?

Ci ho provato in vari modi ma non sono riuscito. Mi incuriosirebbe tanto tanto .
Mi aiutate? perché sto anche io studiando queste cose e mi interessa. Non ci avevo pensato prima di leggere qui per puro caso.

Guarda, siccome mi citavi, ti risponderei davvero volentieri e con piacere ma non ne sono in grado. Perché come dicevo la mia dimostrazione ha seguito la "logica", ma in realtà poi ha fatto nascere altre domande in me sul fatto di averlo fatto in modo corretto e ci sto ancora lavorando grazie all'aiuto di otta.

Spero possa passare a darti una risposta su come dimostrare rigorosamente quello che citi di tuo interesse, ovvero

dimostrare il se e solo se in rosso:
${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
se e solo se
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$

@otta96 è davvero molto in gamba e nel caso legga penso saprà darti la dimostrazione rigorosa

L'implicazione verso sinistra non vale perchè c'è troppa poca informazione per valere (la parte di destra non dice nulla su $E'$). L'altra parte è vera e rimando alla discussione di logica alla quale mi metto a rispondere.

Prima di tutto grazie per la risposta

Volevo chiederti cosa intendessi con "L'implicazione verso sinitra non vale perchè c'è troppa poca informazione per valere" cioè come hai fato a dedurlo/capirlo. io sono bloccato e non ho proprio idea di come procedere in questa fase (quindi ti chiedo che processo mentale hai seguito, cosi da poterlo imparare)

Seconda cosa dicevi

(la parte di destra non dice nulla su E'). L'altra parte è vera e rimando alla discussione di logica alla quale mi metto a rispondere

devi scusarmi tanto perché è colpa mia che sono stupido, ma non ho capito cosa intendi con"la parte di destra non dice nulla su E' ", cioè non ho capito non dicendo nulla che conclusione ne stai dando, e poi cosa intendessi con "altra parte vera" Pesavo infatti l'altra parte fosse <= del "se e solo se" in rosso, però dicendo che non dice nulla su E' non capisco se sai dicendo che non vale.


Quanto alla discussione cui accenni la cerco subito nella stanza di logica e algebra, che l'ho appena vista.
Ringrazio! E buona serata