Serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+\sin n)^n}{3^n}$

[ncant]

Salve a tutti, avrei bisogno di un opinione riguardo lo studio di questa serie:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+\sin n)^n}{3^n}
\]
Si tratta di una serie a termini non negativi, ho applicato il criterio del confronto
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{(1+\sin n)^n}{3^n} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{3}\right)^n
\]
Ho poi applicato il criterio della radice
\[
\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2}{3}\right)^n} = \frac{2}{3} < 1
\]
da cui si evince che la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n}$ converge e che dunque anche la serie in esame converge.

Può andare bene come ragionamento?

[otta96]

Si.

[pilloeffe]

Ciao ncant,

Si tratta di una serie a termini non negativi, ho applicato il criterio del confronto

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(1+\sin n)^n}{3^n} \leq \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2}{3}\right)^n \)

Una volta arrivato qui potevi più semplicemente osservare che l'ultima scritta è una serie geometrica di ragione $q = 2/3 < 1 $, sicché si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(1+\sin n)^n}{3^n} \le \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} (\frac{2}{3})^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{2}{3})^n - 1 = 1/(1 - 2/3) - 1 = 2 $

Curioso osservare che per WolframAlpha la serie proposta è divergente, il che ancora una volta dimostra che il software "va in sofferenza" con le serie nelle quali compare la funzione seno, per motivi che al momento onestamente ignoro:
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%281+%2B+sin+n%29%5En%2F3%5En%2C+n+%3D+1+to+%2Binfty

Però poi dando un'occhiata alle somme parziali si vede chiaramente che $ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(1+\sin n)^n}{3^n} \le 2 $

[ncant]

[...] il che ancora una volta dimostra che il software "va in sofferenza" con le serie nelle quali compare la funzione seno, per motivi che al momento onestamente ignoro.

Una serie risultava per Photomath sia convergente per il teorema del rapporto sia divergente per il criterio della radice.

Gli umani servono ancora

[pilloeffe]

Gli umani servono ancora

Assolutamente.

Comunque ho nuovamente scritto a Stephen Wolfram per segnalare questo ed altri problemi, che semplicemente sembrano non tener conto della ben nota disuguaglianza $sin x \le x $ valida $\forall x \ge 0 $
Finora però ho ricevuto solo la consueta risposta di cortesia che mi ringrazia per il feedback ricevuto.
Se ci saranno sviluppi significativi, sarà mia cura segnalarlo a tutti gli utenti del forum.