Compatto?

La parte tra parentesi è una chiarificazione di quello che avevo detto prima, come potrebbe ${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$ implicare ${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$ se non dice niente su come funziona $E'$? Mentre con l'altra parte intendevo la direzione $=>$.

@otta96: Mille grazie per la risposta. Sto seguendo molto appassionatamente la discussione che mi hai segnalato in logica e algebra. Non l'avrei mai vista ed è per me stata più utile del libro stesso.

In attesa che continui la discussione nell'altra pagina che continuo a seguire perché ci sono due spunti di OP che mi interessano nell'ultimo messaggio, vorrei applicare quanto di la detto per questo caso della discussione:

${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
=>
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$

PRIMA SOLUZIONE:

Questa situazione sarebbe
$(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))=>(F<=>forallx(C(x)<=>B(x))$
come hai fatto tu devo prendere (I) $(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))$ vera e mostrare che è vera (II) $(F<=>forallx(C(x)<=>B(x))$ se non sbaglio.

Adesso voglio capire come da I concludere che II è vera: ragiono così,

I è vera quando
primo caso: le due parti dell'and sono vere, quindi ogni elemento (rispetta A se e solo se rispetta B), e ogni elemento (rispetta C se e solo rispetta A) e sua volta se e solo se vale F. Quindi è vero per "transitività sugli elementi" che ogni elemento (rispetta C se e solo se rispetta B) se e solo se (vale F).

altri casi per cui possa essere vera I non ne esistono infatti se uno tra A, B, F, C o A non fosse vero per qualche x subito avrei $(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))$ falsa e quindi è bansalmente vera l'implicazione totale.



SECONDA SOLUZIONE

Oppure, proprio mentre stavo scrivendo quesot messaggio, mi è venuta i mente un'altra idea:
Siccome sono tutte slegate tra loro le proposizioni, avrei mettendoci la quantificazione: $A<=>B and F<=>C<=>A $ e come conseguente $F<=>C<=>B$

Facendo la tavola: $A<=>B and F<=>C<=>A $ => $F<=>C<=>B$ viene una tautologia, quindi è vero!


Mi sembrano due modi validi entrambi o sto sbagliando qualcosa di stupido?
Potrei chiederti una correzione? Perché vorrei capire se ci sono arrivato o meno grazie ai vostri spunti dell'altra conversazione. Ti ringrazio.

Ultima modifica di sansipersico il 05/07/2024, 16:47, modificato 2 volte in totale.

Ho fatto una correzione perché mi sono impappinato, ora è corretto credo!

La prima soluzione va bene, la seconda no perchè $A, B$ e $C$ devono avere un argomento, non si può omettere.

Grazie mille, sono contento che grazie a quella discussione dall'altra parte ho capito il primo metodo. Non ne sarei stato capace prima.

Per il secondo:
Mi spiego meglio, ovviamente in generale non si può fare. Però in questo preciso caso essendo che
$(∀x(A(x)⇔B(x)) and F⇔∀x(C(x)⇔A(x))⇒(F⇔∀x(C(x)⇔B(x))$
sono tutte quantificate in modo separato, quindi di fatto sono proposizioni a sé stanti che si chiudono in se stesse. La mia idea era quindi definire:
$∀x(A(x)⇔B(x)):=A<=>B$
$∀x(C(x)⇔A(x)):=C<=>A$ e via dicendo

mi sembra funzionare facendomi un esempio: fissato x se P(x) => Q(x) è come dire P=>Q e mi posso studiare la tavola di verità di P=>Q. Un esempio: per ogni x, se x scodinzola => è un cane si rende con la tavola P=>X prendendo i vari valori di P vero e falso è il variare la x fissata di volta in volta. Mi sembra quindi di ottenere quella tavola.

In questo modo mettendo tutti quelle definizioni sopra assieme ho:
$(A⇔BandF⇔C⇔A) => F⇔C⇔B$. Credo di non capire perché questo non funzioni.


però, in effetti, mi viene il dubbio che potrei agire così solo se fosse un caso tipo
$((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))andF⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒(F⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,B(x)))$ a questo punto è vero che chiamato ∀x,A(x)=A e ∀x,B(x)=B avrei: $(A⇔BandF⇔C⇔A) => F⇔C⇔B$
Bel dubbione.

L'unica cosa che non mi è tanto chiara e se mi potessi aiutare a capire il perché (se la seconda è giusta) funziona ma nella prima no.