immagine e codominio

Premesso che sta prendendo piede la definizione "codominio= insieme delle immagini",

oh mamma, spero di no!

Per me non è affatto una "questione aperta". Il codominio è una cosa, l'immagine un'altra.

riporto un brano che lessi tanti anni fa ...
"... D'altra parte, ..., non c'è ragione perché il codominio non possa includere elementi che non siano immagini, perché agli elementi del codominio non è imposto nessun criterio (o regola). Del resto è inutile insistere sul fatto che ogni elemento del codominio debba essere immagine di un elemento del dominio: come si potrebbe. ad esempio, prevedere con esattezza l'insieme dei valori assunti dal quoziente d'intelligenza (codominio) di un insieme di persone (dominio), prima di poterli effettivamente misurare? Tutto quello che sappiamo è che tutti i quozienti d'intelligenza saranno compresi nell'insieme dei numeri naturali, e che, così, è possibile scegliere tale insieme come codominio.
Ciò che si richiede al codominio è che contenga l'insieme di tutte le immagini degli elementi del dominio. Così nell'esempio del 'colore degli occhi' non ci si è preoccupati di escludere il cremisi dall'insieme dei colori, anche se nessuna persona ha gli occhi di quel colore. ..."

ottimo esempio
Aggiungo una considerazione, relativa alle funzioni reali di variabile reale (per amor di "concretezza", ma si può estendere, ovviamente...).

Una funzione reale di variabile reale è $f:A->RR$, con $A \sube RR$.
Quindi il codominio è tutto $RR$.

Anche delle funzioni $\sin$, $\cos$, delle parabole...
Perché? Perché gli analisti sono così pazzi, cosa se ne fanno?
Semplice. Se ho due funzioni reali posso sempre sommarle (sull'intersezione del loro dominio) e ottengo una funzione reale. Anche moltiplicarle, posso...

Premesso che sta prendendo piede la definizione "codominio= insieme delle immagini",

oh mamma, spero di no!

Per me non è affatto una "questione aperta". Il codominio è una cosa, l'immagine un'altra.

Ahimé, purtroppo è vero e la cosa comincia nelle scuole. Mi sono trovato a dover fare ripetizioni a molti ragazzi a cui venivano proposti esercizi del tipo "Trova il codominio di questa funzione", quando in realtà ciò che chiedevano era l'immagine .

Ho capito, grazie. Tuttavia essendo una questione aperta propendo, almeno per le funzioni numeriche, per la definizione
"codominio=insieme delle immagini".

Ma anche no.

cosa intendi ? Che tale uguaglianza non è ammissibile ?

Premesso che sta prendendo piede la definizione "codominio= insieme delle immagini",

oh mamma, spero di no!
Per me non è affatto una "questione aperta". Il codominio è una cosa, l'immagine un'altra.

Ragazzi, non sono certo io con le mie idee a poter dire se sia un'uguaglianza ammissibile o meno e quindi, in certo senso, una "questione aperta" o no. Mi limito ad osservare.
Tale uguaglianza effettivamente non mi sembra sia quella che va per la maggiore, tuttavia ho visto che non si tratta solo di una mia idea bizzarra ma è suggerita in qualche fonte. Ovvero qualcuno di autorevole la considera magari non condivisa ma comunque degna di cittadinanza. Axpgn poi ci dice che tale uguaglianza si sta anche diffondendo ed Antimius conferma la cosa a livello didattico, anche se entrambi sembrano non condividere la tendenza.
Che poi, considerando la distinzione "classica", si vada a parlare di cose distinte siamo d'accordo.
In definitiva si tratta, appunto, di definizioni ed intendevo appunto la definizione come questione aperta.
Nel contesto delle definizioni si può discutere ed io penso che debbano essere quelle che restituiscono minori problemi a dover prevalere.

In questo caso particolare può benissimo essere che alcuni problemi io non li veda ... ma mi sembra che l'uguaglianza dei concetti di codominio ed insieme delle immagini sia conveniente.
Provo ad elencare qualche spunto da cui parto:
- il "problema" è che nella definizione di funzione il dominio ed il codominio dovrebbero essere decisi a priori (sbaglio ?) rispetto ad $f$ senza i quali $f$ in se stessa non avrebbe senso compiuto. In realtà, concettualmente, questo “a priori” mi sembra problematico. Qualche problema è già nel dominio.
- lo stesso concetto di dominio infatti è in parte arbitrario, mentre non sarebbe arbitrario il cosiddetto i dominio naturale (o campo di esistenza o insieme di definizione o ...). Esistono esercizi infatti in cui si chiede di "trovare il dominio" ma evidentemente si intende il dominio naturale. Quindi il dominio che scelgo “a priori” sarebbe da rivedere in qualche punto in modo da garantire almeno le condizioni di realtà (dominio naturale). Poi magari tolgo altri spazi per altri motivi. Ed allora vediamo che già il dominio, che non può essere che un sottoinsieme del dominio naturale (sbaglio ?), mi ha già costretto a ragionare su $f$. La “priori” l’ho già persa.
- il codominio è più arbitrario e può essere un insieme piccolo a piacere purchè, ragionando a partire dal dominio, che evidentemente è già deciso, contenga almeno tutto l'insieme immagine. In un testo ho letto che “il codominio è praticamente l’insieme di valori che la funzione “a priori” può assumere”. Per evitare di prendere un codominio "troppo piccolo" a volte si sottintende di considerare tutto $RR$. E' infatti evidente che volendo scegliere un codominio strettamente contenuto in $RR$ dovremmo già aver capito qualcosa di $f$ ovvero intuito uno spazio minimo per l'insieme immagine. Infatti, come sottolineato nel link postato, mentre chiedere qual'è il dominio di $f$ ha senso (dovremmo forse dire dominio naturale), non ha senso chiedere quale sia il codominio ... invece a senso chiedere l'insieme immagine ( quando è noto il dominio) vedi esercizi di Antimius.
Sembra quindi che il dominio sia arbitrario solo “in difetto” ovvero non può comunque eccedere il dominio naturale (e questo mi sta bene). Il codominio invece sarebbe arbitrario “in eccesso” ovvero deve comunque contenere l’insieme immagine e poi eventualmente anche altro. Perché? Che senso ha includere altri valori (arbitrari!) se la funzione non li può assumere? Potrei al massimo comprendere che si imponga sempre come codominio tutto $RR$ (soddisfiamo così sempre questo “a priori”) ed infatti a quanto o capito si fa, ma pare comunque cosa di scarsa utilità.

in termini pratici, tra le altre cose, l'esempio della parabola a cui mi riferivo rende evidente che con l'arbitrarietà nello scegliere il codominio abbiamo anche arbitrarietà della suriettività o meno della funzione parabola. Tali arbitrarietà mi sembrano poco piacevoli ed in ogni caso sono foriere di ambiguità che sicuramente non sono piacevoli.

A me sembra che la cosa più naturale sia ragionare solo su $f$, alla fine è lei che conta. Una volta scelta $f$, a mio parere, dovrebbe essere ormai tutto conseguenza. Il dominio naturale in effetti lo è, e l'insieme immagine anche lo è a posteriori. Un dominio che restringo a piacere, causa applicazioni pratiche, lo posso ben capire. Un codominio che sia più ampio dell'insieme immagine invece non lo riesco a capire; mi pare un concetto con poco senso logico.

Una funzione reale di variabile reale è $ f:A->RR $, con $ A \sube RR $.
Quindi il codominio è tutto $ RR $.
Anche delle funzioni $ \sin $, $ \cos $, delle parabole...
Perché? Perché gli analisti sono così pazzi, cosa se ne fanno?
Semplice. Se ho due funzioni reali posso sempre sommarle (sull'intersezione del loro dominio) e ottengo una funzione reale. Anche moltiplicarle, posso...

Forse hai ragione tu, forse non comprendo le implicazioni di ciò che ho scritto. Non sono un'analista. Però ad esempio so che se ho due variabili aleatorie con diverso supporto (dominio), es una Normale ed una Chi-Quadro, le posso sommare ed ottengo una nuova variabile aleatoria, una nuova cdf, che ha come dominio un'insieme che è l'unione dei due originari (in alcuni casi anche più grande) e come codominio posso considerare sempre $[0,1]$. Da ignorante suppongo che in generale sia solo una questione di "aggiustare" dominio e codominio.

Cos'è una funzione?

...
Il codominio invece sarebbe arbitrario “in eccesso” ovvero deve comunque contenere l’insieme immagine e poi eventualmente anche altro. Perché? Che senso ha includere altri valori (arbitrari!) se la funzione non li può assumere? Potrei al massimo comprendere che si imponga sempre come codominio tutto $RR$ (soddisfiamo così sempre questo “a priori”) ed infatti a quanto o capito si fa, ma pare comunque cosa di scarsa utilità.
...

Ma hai letto quello che ha scritto axpgn?

In ogni caso, se cambierà qualcosa nelle definizioni standard non sarà un dramma, alla lunga (la matematica esisteva prima di Cantor, dopotutto). Nel transitorio ci sarebbe un po' di confusione, ma questa può far comodo per bocciare studenti antipatici

Sono contenta di questa discussione perché, hanno ragione i colleghi, nei libri di testo di scuola secondaria c'è una grande confusione e quasi sempre è chiamato codominio l'insieme delle immagini. Credevo di avere io dei ricordi anomali, ma le affermazioni di Fioravante mi hanno rincuorato.
A proposito tanti auguri.

Ma hai letto quello che ha scritto axpgn?

Si.
Il commento che ha riportato è carino. Tuttavia si tratta solo di un argomento non di una dimostrazione e non mi convince.
L'argomento è astuto perché sfrutta il concetto di incertezza in relazione all'insieme delle immagini (inoltre l'evoluzione può fare scherzi, uno con gli occhi cremisi potrebbe sempre nascere prima o poi ) ma non risolve il problema in modo decisivo. E' come dire che siccome l'insieme immagine non lo conosco allora tanto vale prendere un codominio molto ampio. Ecco che aquisisce pieno senso il "a priori" di cui dicevo per il codominio ed ecco che la scelta di $RR$ diventa non proprio casuale (ma non obbligata ... meglio se lo fosse a sto punto).
In altre parole l'argomento è: "alcuni elementi forse sono nell'immagine, perché rischiare di sbagliare non inserendoli ? Anche se sono in più che male fa ?" Io dico che innanzitutto fa male perché se non ci mettiamo d'accordo su una regola su quanti inserirne rischiamo di far casino.
Basta poi ragionare al contrario e dire: "se alcuni elementi son sicuro siano fuori dall'insieme immagine perché inserirli ? Se li tolgo che male faccio? Io dico che innanzitutto fa male perché se non ci mettiamo d'accordo su una regola su quanti toglierne rischiamo di far casino.
La regola di toglierli tutti ci toglie dai casini. Tutto qui. (Anche la regola di inserirli tutti, ariecco $RR$ non è poi proprio da buttare, tuttavia ...).

In ogni caso, se cambierà qualcosa nelle definizioni standard non sarà un dramma, alla lunga (la matematica esisteva prima di Cantor, dopotutto). Nel transitorio ci sarebbe un po' di confusione, ma questa può far comodo per bocciare studenti antipatici

Questa è bella !!! Poveri studenti

A proposito tanti auguri.

Infatti, auguri a tutti !

La confusione e l'incertezza di cui parli non hanno senso di essere perché in verità non vi sono affatto. Così come non vi è alcuna stranezza nel fatto che tanto il dominio quanto il codominio (inteso come non necessariamente uguale all'immagine) debbano essere dati a priori. Il punto che ti sfugge, ripeto, è il seguente: cos'è una funzione?

La confusione e l'incertezza di cui parli non hanno senso di essere perché in verità non vi sono affatto. Così come non vi è alcuna stranezza nel fatto che tanto il dominio quanto il codominio (inteso come non necessariamente uguale all'immagine) debbano essere dati a priori. Il punto che ti sfugge, ripeto, è il seguente: cos'è una funzione?

Certo che sei proprio un bel tipo caro G.D.

Il modo in cui hai posto le tue domande/osservazioni è a almeno pretestuoso e per questo non avevo voglia di risponderti.
Comunque, ... la domanda a cui rimandi, a cui ovviamente o provato a rispondere ben prima che tu mi suggerissi di farlo, nasconde un corretto modo di procedere ma potrebbe benissimo non essere risolutiva. Infatti in questo caso, almeno in certo senso, non lo è. Il problema è proprio che possono essere date, e comunque vengono date, definizioni di funzione con un variegato grado di rigore e dettaglio. Potrei anche semplicemente dire che: "una funzione è una relazione che associa ad un elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio" o che "una funzione è una relazione che associa ad un elemento dell'insieme di partenza uno ed un solo elemento dell'insieme di arrivo". Peraltro così dicendo ecco che i concetti di codominio ed insieme immagine paiono confondersi.

Il punto è proprio che il concetto di codominio può essere dato in modo vago senza che questo comprometta quello di funzione; o comunque viene fatto. Forse è a te che questo sfugge.
Infatti è a partire da questo che può nascere l'ambiguità tra codominio ed immagine.
Che poi possano essere concetti logicamente distinti lo abbiamo capito.
Se poi tu hai a disposizione una definizione che chiarisce bene il concetto di codominio e definisce il conceto di funzione in modo che si possa partire solamente da essa (e non dall'immagine)... non è a me che devi spiegarla ... ma a gente che conosce molta più analisi matematica di me.
Dopodiché, anche se così fosse, quello che dicevo prim resta. Le definizioni sono questionabili, e quella di codominio ed anche di funzione non fanno eccezzione.
Io argomentavo solo che distinguere il concetto di codominio da quello di immagine non mi sembra utile ... a maggior ragione se non si definiscono bene le regole di costruzione del codominio ... e semplicemente non mi sembra siano tali.

In ogni caso questa discussione pare diventare sterile.
Sarebbe stato molto più utile per me imbattermi prima in questa
viewtopic.php?f=11&t=29075&start=10
che invece offre una miniera di considerazioni interessanti,

mi limito a riportarne un paio

Comunque, io avevo chiesto anche al mio professore riguardo questa cosa, visto che è una persona molto disponibile. Premetto che è un fisico.
Gli ho riferito di queste cose che mi avete detto, ma lui ha detto che non trova alcuna utilità nel definire codominio e immagine diversi, che è una sottigliezza, lui ad esempio non ha mai avuto bisogno di differenziare le due cose. Gli ho detto tutto questo perché si era mostrato curioso di sapere cosa avrebbero detto le persone del forum dove sto.

che poi, anche alla luce di una distinzione possibile e sensata, è la stessa considerazione che era venuta da fare a me.

E' poi curioso proprio il commento che fai tu caro G.D.

Per quanto riguarda l'indicare il sottoinsieme dell'insieme d'arrivo della funzione contenete le immagini dell'insieme di partenza con il termine "codominio" questa è una semplice scelta di nomenclatura. A mio parere infelice, ma tant'è.

Per quanto riguarda la scelta dell'intervallo \(\left[-1;1\right]\) come insieme d'arrivo questa è una sensata scelta pragmatica. Il seno assume valori in quell'intervallo e solo in quell'intervallo: che utilità potrebbe avere scegliere come insieme d'arrivo tutto \(\mathbb{R}\)? Nessuna! Certamente si potrebbe fare, nulla cambierebbe se non il fatto che pur restringendo il dominio del seno all'intervallo \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) la funzione non risulterebbe poi invertibile e questo sarebbe un problema. Dopo di che, fermo restando queste considerazioni, se scegliamo di chiamare l'insieme delle immagini con il termine "codominio" e l'insieme d'arrivo continuiamo a chiamarlo "insieme d'arrivo", allora diremo che il codominio coincide con l'insieme d'arrivo. Se invece scegliamo di chiamare l'insieme d'arrivo con il termine "codominio" e scegliamo di chiamare l'insieme delle immagini con il termine "insieme immagine" (o "immagine della funzione"), diremo allora che l'immagine della funzione coincide col codominio. Ma in qualunque modo lo diciamo, l'importante è che, per il seno, si possa dirlo, altrimenti ci si complica la vita per invertirlo.

avresti fatto cosa più utile semplicemente segnalandomi questa discussione che evidentemente avevi già letto.

Ultima modifica di markowitz il 28/12/2016, 13:47, modificato 1 volta in totale.

Secondo me tutta la questione nasce dalle nozioni imparate al liceo, che ovviamente non sono le stesse impartite da un corso di analisi matematica all'università. Ecco la definizione di funzione insegnata a me:

Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti, una funzione da $A$ a $B$ è un sottoinsieme $f$ di $AxxB$ tale che:

$AA a in A, EE! b in B : (a,b) in f$

$A$ è detto dominio, $B$ codominio.

Quindi dominio e codominio fanno parte della definizione di funzione stessa, vengono dati a priori, senza sapere cos'è una funzione non si può nemmeno dire cos'è l'immagine.
Insomma, dopo aver finito il liceo, prima di andare all'università, il mio consiglio è di bruciare i libri del liceo di matematica.