immagine e codominio

[tenebrikko]

salve a tutti!
mi sapete dire qual'è la differenza tra immagine di un funzione e il suo codominio?
quindi già che ci sono estendo la domanda alla differenza tra controimmagine e dominio!
grazie mille

[federicav]

Ciao, veniamo subito al dunque.
Sia $f:X->Y$, dove X è il dominio e Y è il codominio.
L'immagine di f è l'insieme $f(X)={x in X | f(x) in Y}$. Si ha che $f(X) sube Y$.
La controimmagine di $f(X)$ è l'insieme ${y in Y | y=f(x) , x in X}$. Questo insieme è $sube X$.
Quindi non è detto che sia $f(X) = Y$, né che sia $X = $controimmagine di $f(X)$.

[dissonance]

La controimmagine di $f(X)$ è l'insieme ${y in Y | y=f(x) , x in X}$.

Questo è detto male. Riformulalo per bene, per favore, altrimenti potresti confondere. Grazie.

[Zilpha]

Ciao, se può esserti utile un esempio molto semplice: consideriamo la seguente funzione $ f: x in RR rarr cosx=y in RR $, l'immagine di questa funzione è l'intervallo $ [-1,1 ] $ mentre il codominio è $RR$ e risulta $ [-1,1 ] sub RR $

[Antimius]

La differenza sostanziale è che il codominio è parte della definizione della funzione.
Quindi, come ti ha detto federicav, sia $f:X to Y$ una funzione, $Y$ si chiama codominio.
L'immagine invece è il "range", l'insieme dei valori che la funzione assume: ad ogni elemento $x in X$ fai corrispondere un elemento $y in Y$ tramite la $f$ e quell'elemento sarà denotato con $y=f(x)$. Non è detto però che tu "esaurisca" tutti i valori in $Y$. (In un tale caso, immagine e codominio coinciderebbero e la funzione verrebbe chiamata suriettiva).
Puoi anche definire un'immagine per ogni sottoinsieme di $X$, cioè l'insieme dei valori in $Y$ che corrispondono a quel particolare insieme tramite la funzione.
($f(A)={y in Y : y=f(x), x in K}, AsubeX$)
Quando non si specifica l'insieme, solitamente si intende per "immagine della funzione", l'immagine corrispondente all'intero dominio $X$, ovvero naturalmente $f(X)$.

[tenebrikko]

tutto chiaro! grazie mille a tutti non avevo pensato che facendo coincidere l'immagine al codominio ottengo una funzione suriettiva e l'esempio di Zilpha è perfetto!

[markowitz]

La differenza sostanziale è che il codominio è parte della definizione della funzione.

Quindi, come ti ha detto federicav, sia $ f:X to Y $ una funzione, $ Y $ si chiama codominio.

L'immagine invece è il "range", l'insieme dei valori che la funzione assume $.

Riprendo la discussione.
Ragionando sul concetto di parabola. Si parlava con un amico di capire se una parabola è funzione suriettiva o meno.
Sembra che in realtà lo è e non lo è allo stesso tempo, ovvero dipende da come si scrive il codominio.
https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_suriettiva

Stavo quindi googolando un poco per vedere questa differenza tra codominio ed insieme immagine che mi ha incuriosito. Oltre a ciò che dite qui, Antimius riassume al massimo, ho trovato una spiegazione carina è anche qui:
http://www.youmath.it/lezioni/analisi-m ... zione.html

Infatti il mio problema e che confondevo il codominio con l'insieme immagine.

Tuttavia il link conclude affermando che ha poco senso chiedere quale sia il codominio di una funzione, concetto infatti di cui continuo a non capire il senso pratico.
La domanda è questa:
che senso ha il concetto di codominio se esso altro non è che l'insieme immagine più qualcos'altro di arbitrario?
O arbitrario non è ? Ed allora che significato ha e come si trova se, ad esempio, ho a disposizione $f(x)$ con dominio Reale e codominio ignoto ?

(N.B: forse qualcosa del genere può riguardare anche il dominio ma vediamo dopo )

[axpgn]

Premesso che sta prendendo piede la definizione "codominio= insieme delle immagini", riporto un brano che lessi tanti anni fa ...

"... D'altra parte, ..., non c'è ragione perché il codominio non possa includere elementi che non siano immagini, perché agli elementi del codominio non è imposto nessun criterio (o regola). Del resto è inutile insistere sul fatto che ogni elemento del codominio debba essere immagine di un elemento del dominio: come si potrebbe. ad esempio, prevedere con esattezza l'insieme dei valori assunti dal quoziente d'intelligenza (codominio) di un insieme di persone (dominio), prima di poterli effettivamente misurare? Tutto quello che sappiamo è che tutti i quozienti d'intelligenza saranno compresi nell'insieme dei numeri naturali, e che, così, è possibile scegliere tale insieme come codominio.
Ciò che si richiede al codominio è che contenga l'insieme di tutte le immagini degli elementi del dominio. Così nell'esempio del 'colore degli occhi' non ci si è preoccupati di escludere il cremisi dall'insieme dei colori, anche se nessuna persona ha gli occhi di quel colore. ..."

Inoltre, almeno in teoria, due funzioni sono uguali se hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio e la stessa regola di corrispondenza ...

Cordialmente, Alex

[markowitz]

Ho capito, grazie. Tuttavia essendo una questione aperta propendo, almeno per le funzioni numeriche, per la definizione
"codominio=insieme delle immagini". Accettando questa identità diventano quindi anche sinonimi il dominio e l'insieme delle controimmagini? Mi sembra di si, o ci sono altre complicazioni?

[G.D.]

Ho capito, grazie. Tuttavia essendo una questione aperta propendo, almeno per le funzioni numeriche, per la definizione
"codominio=insieme delle immagini".

Ma anche no.