Problema di minimizzazione con un triangolo rettangolo

[marcokrt]

Problemino di ottimizzazione (solo per modo di dire) che è anche collegato a un altro quesito che ho postato qui in precedenza.
Ci troviamo nel comune spazio euclideo, 3D. Siano $x$ e $y$ due numeri reali strettamente positivi e sia dato il triangolo rettangolo PHT (lettere a caso) con P \(\equiv (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) \), H \( \equiv (1+x, 1+x, 0) \) e T \(\equiv (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1+y) \). Sappiamo inoltre che il punto \((1,1,0) \) appartiene al cateto PH, mentre \((1,1,1) \) appartiene all'ipotenusa, TH.
Minimizzare la somma delle lunghezze di PH e TH determinando la coppia di valori \(x\) e \(y\) tali per cui
|PH+TH| sia minimo.

NOTA: Con un'osservazione abbastanza banale, si può subito capire che \( y>1 \).

[gugo82]

Perché poni il problema a noi?
Cosa vorresti sapere?

[marcokrt]

Credevo questa fosse una sezione per porre anche quesiti random... in realtà, risolvere questo esercizio dovrebbe suggerire anche come procedere per "risolvere" (almeno parzialmente) quell'altro problema più complesso che ho postato in precedenza e che attende risposta.

P.S.
Mi sa è dai tempi di BOX_M che non ci si leggeva qui

[gugo82]

Credevo questa fosse una sezione per porre anche quesiti random...

Ah, è un esercizio per la community?

in realtà, risolvere questo esercizio dovrebbe suggerire anche come procedere per "risolvere" (almeno parzialmente) quell'altro problema più complesso che ho postato in precedenza e che attende risposta.

Quale "altro problema"?

Mi sa è dai tempi di BOX_M che non ci si leggeva qui

Non ho capito...

[marcokrt]

Credevo questa fosse una sezione per porre anche quesiti random...

Ah, è un esercizio per la community?

Esatto.

in realtà, risolvere questo esercizio dovrebbe suggerire anche come procedere per "risolvere" (almeno parzialmente) quell'altro problema più complesso che ho postato in precedenza e che attende risposta.

Quale "altro problema"?

Rispondere a questa domanda, permette di risolvere anche questo problema ben più complesso che ho postato giorni fa: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=40&t=238391

Mi sa è dai tempi di BOX_M che non ci si leggeva qui

Non ho capito...

Era quella vecchia discussione di una dozzina di anni fa in cui descrivevo quel "salad number" che ingenuamente avevo creato ritenendolo utile e addirittura pensando che potesse trattarsi del più grande numero definito all'epoca (come chiarito nella pagina relativa, che cristallizza la figuraccia che fu a imperitura memoria https://googology.fandom.com/wiki/BOX_M%CC%83)... pensa che oggi hanno creato un'intera classe di numeroni a partire dal mio BOX_M https://fanmade-googology.fandom.com/wiki/Category:BOX_series

[gugo82]

Ah, quelle cose lì…
Dopo 12 anni chi se le ricordava!

Ad ogni buon conto, il problema è essenzialmente unidimensionale, poiché è forzato dalla geometria del triangolo.
I punti $H$ e $T$ che lo risolvono dovrebbero essere quelli che distano \(\sqrt[4]{2}/2\) dai due vertici del cubo lungo le semirette che vi passano ed hanno origine $P$, e la lunghezza minima dovrebbe essere \(1/2\ (1 + \sqrt[4]{2})^2\), se non ho sbagliato i conti.

[marcokrt]

Ah, quelle cose lì…
Dopo 12 anni chi se le ricordava!

Ad ogni buon conto, il problema è essenzialmente unidimensionale, poiché è forzato dalla geometria del triangolo.
I punti $H$ e $T$ che lo risolvono dovrebbero essere quelli che distano \(\sqrt[4]{2}/2\) dai due vertici del cubo lungo le semirette che vi passano ed hanno origine $P$, e la lunghezza minima dovrebbe essere \(1/2\ (1 + \sqrt[4]{2})^2\), se non ho sbagliato i conti.

Guardando al volo la distanza, non mi torna... numericamente parlando, la lunghezza minima della somma in questione è (approssimando) $3.8455$.
Comunque un utente di MO ha appena postato una risposta al quesito generale (quello che avevo scritto anche qui in "Pensare un po' di più"), non l'ho controllata con attenzione, ma mi sembra promettente, perché confermerebbe che quello che ritenevo essere il minimo assoluto sarebbe proprio il minimo assoluto del problema generale: https://mathoverflow.net/questions/472583/shortest-polygonal-chain-with-6-edges-visiting-all-the-vertices-of-a-cube

[gugo82]

Allora, l'altro giorno, facendo i calcoli in fretta, ho minimizzato la somma dei cateti invece che di cateto ed ipotenusa.

Ti racconto il procedimento, coi calcoli corretti.
I tre punti $P$, $H$ e $T$ individuano un piano $pi$, nel quale possiamo istituire un sistema di coordinate con origine in $P$, asse delle ascisse $xi$ passante per $H$ ed orientato da $P$ verso $H$ ed asse delle ordinate $eta$ passante per $T$ ed orientato da $P$ verso $T$.
Nel nuovo sistema di assi cartesiani $Oxi eta$ su $pi$:

• il punto $P$ ha coordinate $(0,0)$,
  
• il vertice $A=(1,1,0)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2 , 0)$,
  
• il vertice $B=(1,1,1)$ ha coordinate $(sqrt(2)/2, 1)$,
  
• il punto $H$ ha coordinate $(xi_H,0)$ con $xi_H > sqrt(2)/2$,
  
• il punto $T$ ha coordinate $(0, eta_T)$, con $eta_T > 1$.

Visto che $H$, $B$ e $T$ sono allineati, essi appartengono ad una stessa retta di equazione $y-1=-m(x - sqrt(2)/2)$ (con $m>0$) ed, in particolare, ciò importa:
\[
\eta_T = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\qquad \text{e}\qquad \xi_H = \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2m} = \frac{1}{m}\ \eta_T\; .
\]
Le somme delle lunghezze di $PH$ e $TH$ è:
\[
\begin{split}
f(m) &:= \xi_T + \sqrt{\xi_H^2 + \eta_T^2}\\
&= \frac{1}{m}\ \eta_T + \sqrt{\frac{1}{m^2}\ \eta_T^2 + \eta_T^2}\\
&= \eta_T \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)\\
&= \frac{2 + \sqrt{2}\ m}{2}\ \left( \frac{1}{m} + \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}\right)
\end{split}
\]
ed il minimo è $~~ 3.84552$ che si ottiene per $m ~~ 1.59792$.

[marcokrt]

...

[marcokrt]

Ecco la figura in 3D da cui il problema è stato derivato... a noi interessa chiaramente solo il triangolo $PHT$: