Lo scarabeo

[mau21]

Buonasera,
scrivo per chiedere il vostro aiuto riguardo il seguente esercizio:
TESTO:
Nel gioco dello scarabeo, il sacchetto delle lettere contiene $130$ lettere, di cui $12 A$, $12 E$, $4 P$. Calcola la probabilità che, estraendo a caso dal sacchetto, si possa comporre la parola $APE$. Esegui il calcolo nel caso in cui a
ogni estrazione la lettera venga rimessa nel sacchetto e nel caso in cui le lettere estratte non possano essere
ripescate di nuovo. (Suggerimento. Ricorda che nel gioco dello scarabeo non ha importanza l’ordine in cui le
lettere sono estratte.).

Ho letto su internet che le estrazioni nello scarabeo sono 8.
Ho dunque ragionato utilizzando la formula base per il calcolo delle probabilità (considerando la parte senza reimmissione)
I casi possibili sono $130*129*128*...*123$.
Per quanto riguarda i favorevoli ho provato a ragionare utilizzando il principio fondamentale della combinatoria suddividendo la mia procedura in 4 fasi:
1)prendo una $A$ ($12$);
2)prendo una $P$ ($4$);
3)prendo una $E$ ($12$);
4)prendo le altre 5 tessere ($((127),(5))$).

Tuttavia così mi viene una probabilità molto più bassa di quella che il libro da come soluzione ($~=0,15$).
Potreste aiutarmi a risolverlo nella maniera corretta?
Grazie mille!

[ghira]

Esattamente che calcolo fai?

A prima vista ignori molte possibilità ma magari no.

Sembra più facile calcolare la probabilità di non poter comporre APE ma forse mi sbaglio.

[ghira]

Con reinserimento ottengo circa 0,051 coi calcoli e con una simulazione.

Senza reinserimento ottengo circa 0,054 coi calcoli e con una simulazione.

[ghira]

Ho usato inclusione-esclusione, per la cronaca.

[mau21]

Ciao Ghira, grazie per l'aiuto!
Mi potresti scrivere esplicitamente che calcolo hai fatto perchè non sono sicuro di aver capito bene?
Per quanto riguarda il mio metodo ho ragionato pensando che i casi favorevoli erano tutti quelli in cui avevo almeno una A, una P e una E tra le tessere estratte più tutte le altre (che possono anche essere le altre A,P ed E presenti nel sacchetto), quindi ho usato il principio fondamentale scegliendo prima quelle tessere e usando poi il coefficiente binomiale per trovare tutte le altre possibili opzioni estraibili per completare la mano di gioco.
Quindi esplicitamente il mio calcolo viene:

$P=C_f/C_p=(12*4*12*((127),(5)))/(\prod_{i=0}^7 (130-i))$.
Questo chiaramente senza reimmissione.
Potresti aiutarmi a capire dove ho sbagliato?
Grazie mille!

[ghira]

Non rischi di contare le stesse combinazioni più volte?

Per esempio "la prima A come prima lettera e la seconda A come "una delle altre cinque"" e "la seconda A come prima lettera e la prima A come "una delle altre cinque""

[mau21]

Mi sa di sì, comunque pensandoci meglio i casi possibili dovrebbero essere:
$C_p=((130),(8))$
in quanto contano solo le varie tipologie di mazzi che posso formare, mentre così do anche importanza all'ordine di estrazione...

[mau21]

Se sostituisco quello nel calcolo ottengo una probabilità simile (anche se non identica) a quella proposta come soluzione (a me viene $~=1,13$ mentre il libro fornisce $0,157$).

[mau21]

Per quanto riguarda i $C_f$ hai ragione, forse farei meglio, come suggerivi, a calcolare la probabilità di non trovare APE.
Quindi i casi favorevoli sarebbero la somma dei casi ottenuti togliendo di volta in volta le tre lettere dal sacchetto e usando il coefficiente binomiale per trovare tutte le possibili combinazioni così ottenibili; nel calcolo:
$C_f=2*((118),(8))+((126),(8))$.
Come casi possibili utilizzerei invece:
$C_p=((130),(8))$.
Appena ho la possibilità di fare il calcolo provo e vedo se così viene...
Tu cosa ne pensi?
Grazie ancora!

[ghira]

Simulazione con reimmissione:

Codice:

#!/usr/bin/perl

while (1) {
        $a=0;
        $e=0;
        $p=0;
        $t++;
        for (1..8) {

                $r=int(rand(130))+1;
                if ($r<=12) {
                        $a=1;
                        next;
                        }
                if (($r>12) && ($r<=24)) {
                        $e=1;
                        next;
                        }
                if (($r>24) && ($r<=28)) {
                        $p=1;
                        next;
                        }
                }
                if ($a+$e+$p==3) {
                        $s++;
                        }
                $m=$s/$t;
                print "$m\n";

        }


e se lo faccio girare per un po':

0.0510432746444738

Simulazione senza reimmissione:

Codice:

#!/usr/bin/perl

while (1) {
        $a=0;
        $e=0;
        $p=0;
        $t++;
        @seen=();
        for (1..8) {
                do {
                $r=int(rand(130))+1;
                } until ($seen[$r]==0);
                $seen[$r]=1;

                if ($r<=12) {
                        $a=1;
                        next;
                        }
                if (($r>12) && ($r<=24)) {
                        $e=1;
                        next;
                        }
                if (($r>24) && ($r<=28)) {
                        $p=1;
                        next;
                        }
                }
                if ($a+$e+$p==3) {
                        $s++;
                        }
                $m=$s/$t;
                print "$m\n";

        }


e facendo andare la cosa per un po':

0.0546231279473493

Valori molto lontani dalle risposte "ufficiali". Hmm.