Probabilità condizionata e formula di Bayes

Ciao a tutti!

Ho un esercizio tra le mani che non riesco a risolvere ossia penso di averlo impostato correttamente ma non riesco a trovare quel che mi manca per arrivare alla conclusione.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Un’impresa ha installato un sistema automatico per il controllo di qualitò il quale garantisce che se un pezzo è difettoso esso viene eliminato con probabilità pari a 0.995. C’è una piccola probabilità, pari a 0.001, che anche un pezzo che non è difettoso venga eliminato. Si sa, inoltre, che la probabilità che un pezzo sia difettoso è pari a 0.2. Calcolare la probabilità che un pezzo che non sia stato eliminato al controllo di qualità sia difettoso.

Io l'ho impostato nel seguente modo.

Dati:

\(P(E|D)=0.995\)
\( \displaystyle P(E| \) $\bar D$ \( \displaystyle )=0.001 \)
\(P(D)=0.2\)
\( \displaystyle P( \) $\bar D$ \( \displaystyle )=0.8 \)
\(\displaystyle E\)=Probabilità eliminato
$\bar E$\(\displaystyle = \)Probabilità non eliminato
\(\displaystyle D= \)Difettoso
$\bar D$\(\displaystyle= \)Non difettoso

Probabile Risoluzione:

\( \displaystyle P(D| \) $\bar E$ \( \displaystyle )=P( \) $\bar E$ \( \displaystyle |D) \) \( \displaystyle *P(D)/ \) \( \displaystyle P( \) $\bar E$ \( \displaystyle ) \)

Credo di aver impostato correttamente il problema ma poi mi blocco per la mancanza di $\bar E$.

Ringrazio anticipatamente tutti quelli che mi daranno una mano!

Buona giornata.

Federico

Probabile Risoluzione:

\( \displaystyle P(D| \) $\bar E$ \( \displaystyle )=P( \) $\bar E$ \( \displaystyle |D) \) \( \displaystyle *P(D)/ \) \( \displaystyle P( \) $\bar E$ \( \displaystyle ) \)

Credo di aver impostato correttamente il problema ma poi mi blocco per la mancanza di $\bar E$.

Se non sbaglio, il problema sarebbe trovare $P(\bar E|D)$ e $P(\bar E|\bar D)$, ma penso che valgano le formule

$P(\bar E|D)=1-P(E|D)$
$P(\bar E|\bar D)=1-P(E|\bar D)$

che dovrebbero risolvere...

Probabile Risoluzione:

\( \displaystyle P(D| \) $\bar E$ \( \displaystyle )=P( \) $\bar E$ \( \displaystyle |D) \) \( \displaystyle *P(D)/ \) \( \displaystyle P( \) $\bar E$ \( \displaystyle ) \)

Credo di aver impostato correttamente il problema ma poi mi blocco per la mancanza di $\bar E$.

Se non sbaglio, il problema sarebbe trovare $P(\bar E|D)$ e $P(\bar E|\bar D)$, ma penso che valgano le formule

$P(\bar E|D)=1-P(E|D)$
$P(\bar E|\bar D)=1-P(E|\bar D)$

che dovrebbero risolvere...

Ho provato in questo momento ma non torna il risultato del testo che deve essere \( \displaystyle P(D| \) $\bar E$ \( \displaystyle ) \) =0.00125

Ho provato in questo momento ma non torna il risultato del testo che deve essere \( \displaystyle P(D| \) $\bar E$ \( \displaystyle ) \) =0.00125

A me viene giusto... Magari prova a rifare i conti qui che vediamo cosa non va... Attento che devi scrivere $P(\bar E)$ come combinazione delle probabilità condizionali (formula della disintegrazione)...

scusate ragazzi, ho bisogno di fare un pò di chiarezza su questi 2 argomenti " Probabilità condizionata e formula di Bayes"

Dal punto di vista teorico quali sono le differenze tra le 2 formule? e quando si utilizzano, negli esercizi come faccio a capire se devo utilizzare l'una o l' altra?

Probabilità condizionata: $ P(E|F)=(P(EF))/(P(F)) $ caso generale
eventi dipendenti tra di loro: $ P(E|F)=(P(E)P(F|E))/((P(F)) $


eventi indipendenti tra di loro: $ P(E|F)=(P(E)P(F))/((P(F)) $


Formula di Bayes: $ P(F|E)=((P(FE)))/((P(F))) = (P(E|F)P(F))/(P(E|F)P(F)+P(E|F^c)P(F^c))$


fin quì va bene?

Grazie

@Frasandro:
Intuitivamente hai che la probabilità condizionata sarebbe la probabilità che un evento accada assumendo che un altro (evento condizionante) si sia verificato (nota che i casi possibili, cioè quelli al denominatore diminuiscono nel caso della probabilità condizionata perché si assume appunto che un evento si sia verificato il che esclude gli altri). Per l'indipendenza e la dipendenza ciò che hai scritto è corretto ed anche intuitivo ( le formule che hai riportato rispondono alla domanda :"Che posso dire su A sapendo che si è verificato B" o "Assumendo che B si sia verificato. Il valore di $P(A)$ ne risente?"). Per il teorema di bayes esso ci permette di calcolare la probabilità di una causa partendo dall'effetto. Detto così può sembrare complesso ma viene tutto da se con degli esempi. Ti lascio qui un link che mi ha aiutato nella comprensione di questo capitolo: http://static.zanichelli.it/catalogo/as ... 062970.pdf

Grazie per il link