"Definito" e "ben definito"

Ciao, amici!
Nei libri di matematica trovo queste due espressioni che direi siano sinonimi... Giusto o no?
$+oo$ grazie!!!

Non esattamente. Definito vuol solo dire che ne hai fornito una definizione. Ben definita significa che se tu dici che una certa cosa è, per esempio, una funzione allora lo è davvero cioè hai dato una definizione sensata.

Nella mia esperienza "ben definito" l'ho visto usato quando si definisce qualcosa su uno spazio quoziente, usando un rappresentante della classe. Ovviamente si tratta di provare che la definizione non dipende dal rappresentante arbitrariamente scelto.

Non esattamente. Definito vuol solo dire che ne hai fornito una definizione. Ben definita significa che se tu dici che una certa cosa è, per esempio, una funzione allora lo è davvero cioè hai dato una definizione sensata.

L'ho incontrata molte volte questa differenza tra "definito" e "ben definito" nelle dimostrazioni dei teoremi di analisi.

In genere - facendo appello alla mia esperienza personale - si dice "si definisce" proprio per dare una semplice definizione, come dice vict85.
Ad esempio: si definisce $g(x)=f(x)-h$ per dire una cosa a caso che mi viene in mente.

Poi, però si va avanti dicendo: "questa definizione è ben definita". E si dimostra che è sensata: una delle cose che mi è capitato più spesso di vedere nel dire "è ben definita" è il dimostrare che la scrittura della definizione non dipende da dati iniziali differenti o dal punto in questione o altre cose simili. In altre parole che la nostra definizione soddisfa certe proprietà a cui teniamo e che non ci sono contraddizioni in essa.

Nella mia esperienza "ben definito" l'ho visto usato quando si definisce qualcosa su uno spazio quoziente, usando un rappresentante della classe. Ovviamente si tratta di provare che la definizione non dipende dal rappresentante arbitrariamente scelto.

In effetti anche io ho trovato la dicitura "ben definito" nella definizione assiomatica degli interi e dei razionali, per quanto riguarda le operazioni di somma, prodotto e la compatibilità della relazione d'ordine $<=$ con somma e prodotto.

Grazie di cuore a tutti!!!

Definito significa che l'oggetto ha una definizione "chiusa"
Ben definito vuo dire che al definizione è quasi chiusa ma, ciò non ostante, praticamente (sufficientemente) chiusa a giudizio dell'osservatore.

Capisco che quel che ho detto potrebbe, al più, essere considerato molto vago e approsssimativo, ma fido in chi mi legge possa in qualche modo intuire cosa vogiio dire con le parole "chiuso" o sufficientemente "chiuso"

Grazie anche a te, Ninì!
Un esempio dalle prime pagine del mio libro di analisi (1):
"g(f(x)) [...] ben definita se f(x) appartiene al dominio di g".
Ciao a tutti e grazie di nuovo!