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lisdap ha scritto:Ciao, senza che apro una nuova discussione, posto qui.
Devo dimostrare il seguente teorema:
"L'insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni insieme".
In maniera più schematica, separando ipotesi e tesi, il teorema si dovrebbe enunciare così:
TEOREMA
Ipotesi: Sia $A$ un insieme, sia $A$ vuoto, sia $B$ un insieme;
Tesi: $A$ è un sottoinsieme di $B$. Innanzitutto è corretto enunciare questo teorema in questo modo un pò più schematico?
Ora provo a dimostrarlo. Consideriamo gli "oggetti" $A_0$ e $B_0$, che soddisfano le ipotesi. $A_0$ è un insieme (per ipotesi), e da quest'informazione non posso cavare nulla visto che il concetto di insieme è primitivo. Stessa cosa per $B_0$. Sempre per ipotesi, però, $A_0$ è vuoto, e dalla definizione di insieme vuoto posso ricavare la conclusione che "$A_0$ non contiene nessun elemento".
Ora la tesi mi dice che l'oggetto $A_0$ gode della proprietà di essere un sottoinsieme di $B_0$, e ciò per definizione significa che $A_0$ gode della proprietà che ogni suo elemento è anche elemento di $B_0$. Quindi, ricapitolando, devo dimostrare che dal fatto che $A_0$ gode della proprietà "non contiene nessun elemento", $A_0$ gode anche della proprietà "ogni suo elemento è anche elemento di $B_0$. Spero che fin qui i miei ragionamenti sono stati corretti!
anche per assurdo si potrebbe dimostrare, tutto sommato devi dimostrare che:
proprietà: siano dati \( A \) un insieme e \( \emptyset \) l'insieme vuoto, allora \( \emptyset \subseteq A \).
proof: supponiamo per assurdo che \( \emptyset \nsubseteq A \) allora \( \exists x \in \emptyset \) tale che \( x \notin A \),ottendo però una contraddizione con l'ipotesi, infatti per ipotesi noi abbiamo \( \emptyset \) l'insieme vuoto e quindi \( \not\exists x \in \emptyset \).
Spero di essere stato chiaro!!
Cordiali saluti
