Insieme vuoto

[GundamRX91]

Pero' allora l'enunciato di Gi8 e' vero e non falso come avevo scritto in precedenza....
$AAx, x in O/ => x in A$

[GundamRX91]

Mannaggia non riesco a "vedere" la connessione tra le cose.....

[Gi8]

Il "trucco" è questo:
Quando hai da dimostrare una implicazione $X rArr Y$, con $X$ falsa sempre, l'implicazione è vera
Più semplicemente, come diceva correttamente j18eos, "dal falso segue ogni cosa"

Ora, l'implicazione che abbiamo noi è: $x in O/ rArr x in A$

Dunque....

[GundamRX91]

Se $x in O/ => x in A$ e' vera allora posso anche dire che $O/ = A$, ma quando due insiemi sono uguali posso considerare l'insieme come sottoinsieme di se stesso, da cui:

$O/ supe A$

[Gi8]

Se $x in O/ => x in A$ e' vera allora posso anche dire che $O/ = A$...

Perchè?

Puoi dire che $O/ sube A$, ma non che sono uguali

[GundamRX91]

Se $x in O/ => x in A$ e' vera allora posso anche dire che $O/ = A$...

Perchè?

Puoi dire che $O/ sube A$, ma non che sono uguali

Per la definizione di sottoinsieme... un elemento di un sottoinsieme appartiene anche all'insieme da cui il sottoinsieme deriva, pero' se assumo che l'insieme nullo contenga un solo elemento allora quell'elemento e' contenuto anche nell'insieme A con la conseguenza che, avendo gli stessi elementi, i due insiemi sono uguali.

Oddio, sto diventando matto!!!!

[Gi8]

Definizione: (Sottoinsieme)
"Siano $B$ e $C$ insiemi
$B$ è sottoinsieme di $C$, e si indica $B sube C$, se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $C$
In formule: $AA x, $ $x in B rArr x in C$",



Definizione: (Insiemi uguali)
"Siano $B$ e $C$ insiemi
$B$ è uguale a $C$, e si indica $B = C$, se ogni elemento di $B$ è anche elemento di $C$ e ogni elemento di $C$ è anche elemento di $B$,
ovvero se $B sube C$ $ ^^$ $ C sube B$
In formule: $AA x, $ $x in B rArr x in C $ $^^$ $x in C rArr x in B$

[Rggb]

@GundamRX91
Ignora il presente messaggio finché non avrai capito la dimostrazione.

Il "trucco" è questo:
Quando hai da dimostrare una implicazione $X rArr Y$, con $X$ falsa sempre, l'implicazione è vera
Più semplicemente, come diceva correttamente j18eos, "dal falso segue ogni cosa"

Vero. Ma occhio, è un'arma a doppio taglio.

Ora, l'implicazione che abbiamo noi è: $x in O/ rArr x in A$

Che è vera.

Ma anche $x in O/ rArr x notin A$ è vera.

[GundamRX91]

Andiamo per gradi

Io devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme di un generico insieme A (per ora mi limito a scrivere solo i pensieri poi provo a formalizzarli).

Se e' un sottoinsieme significa che tutti gli elementi dell'insieme nullo appartengono all'insieme A.
Pero' sappiamo che l'insieme nullo non ha elementi per definizione.
Pero' sappiamo anche che l'insieme nullo e' un sottoinsieme di se stesso che diventa quindi un elemento di A (il sottoinsieme nullo intendo).
Ma se il sottoinsieme nullo appartiene ad A e all'insieme nullo, allora l'insieme nullo e' un sottoinsieme di A.

Vi prego ditemi che e' giusto....altrimenti mi arrendo

[Rggb]

Aspetta, aspetta... fai un po' di confusione.

Io devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme di un generico insieme A (per ora mi limito a scrivere solo i pensieri poi provo a formalizzarli).
...
Pero' sappiamo anche che l'insieme nullo e' un sottoinsieme di se stesso che diventa quindi un elemento di A (il sottoinsieme nullo intendo).

Non è detto che l'insieme vuoto sia un elemento di un generico insieme $A$. Esempi
e.1 - $A={ 1, 2, 3, O/ }$, l'insieme vuoto è un elemento di $A$, che ha infatti elementi '$1$', '$2$', '$3$' e '$O/$'. Si può anche scrivere $A={1, 2, 3, {}}$
e.2 - $B={ 1, 2, 3, pi }$, l'insieme vuoto NON è un elemento di $B$

Detta altrimenti, cerca sempre di distinguere fra elemento ed insieme.