Un predicato che mi manda ai matti

[Martino]

Scusate se mi intrometto.

(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x)) vero può voler dire solo due cose separatamente:
-a- per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera, abbiamo Q(x) vera per ogni elemento x dell universo U;

No, non vuol dire quello.

(*) $(forall y P(y)) => (forall x Q(x))$

si legge "se vale $P(y)$ per ogni $y$ allora vale $Q(x)$ per ogni $x$". Per esempio se l'insieme universo consiste di macchine e $P(y)$ = "$y$ è nera", e $Q(x)$="$x$ è piccola" allora (*) si legge "se ogni macchina è nera allora ogni macchina è piccola". Osserva che quindi se non ogni macchina è nera allora l'implicazione (*) è vera perché l'antecedente è falsa. Invece

(**) $forall z (P(z) => Q(z))$

si legge "per ogni $z$, se $P(z)$ allora $Q(z)$" cioè nell'esempio delle macchine corrisponde a dire "se una macchina è nera allora è piccola", cioè "ogni macchina nera è piccola". Come vedi le due frasi seguenti (che corrispondono a (*) e (**) nell'esempio delle macchine) hanno significati completamente diversi:

(1) "Se ogni macchina è nera allora ogni macchina è piccola".
(2) "Ogni macchina nera è piccola".

Per esempio se il tuo insieme universo consiste di due macchine grandi, una nera e una rossa, allora (1) è vera ma (2) è falsa.

[otta96]

]qui però non hai cambiato universo? mi sembra che ne prendi uno in cui alcuni elementi soddisfano $P$ e un altro dove tutti non la soddisfano. Che mi sembra simile a quello che volevo fare.

No, ho diviso in due possibilità, una è che esista un elemento dell'universo che soddisfa $P$, l'altra che non esista. Non esistono altre possibilità, e si sta parlando sempre dello stesso universo.

Spero di aver ben capito ora grazie alla tua spiegazione (?)

Mi sembra di si.

Però mi chiedevo non dovrei anche verificare che vera $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ sia vera anche $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ quando $(∀y,P(y))$ è falso?

Ma se l'antecedente è falso l'implicazione è vera.

Quindi mi chiedo se avessi qualcosa tipo: $(forally(R(y)))⇒[∀xP'(x)⇒Q'(x)]$ varrebbe ancora: $∀x(forally(P'(x)∧R(y))⇒Q'(x)$?
insomma questa cosa non ho capito come e quando sfruttarla e il ragioamento che mi permette di portare il $forall$ davanti a tutto.

Il tuo esempio non è diverso, perchè praticamente la presenza della variabile si esaurisce nell'espressione tra parentesi, quindi è come se non ci fosse (è una variabile muta) quando guardi quel pezzo dall'esterno delle parentesi, per questo io avevo messo $R$ senza variabile, perchè in quello che interessava le variabili erano mute.

p e q

Vediamo, se ho ben capito il mio errore iniziale, sebbene in realtà fin da principio pensassi a q, volevo capire meglio la p, in sostanza
$p:[∀yP(y)⇒∀xQ(x)]⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ vuol dire scrivere $[∀y,(P(y)⇒∀xQ(x))]⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ giusto?

Si.

Io la leggevo così, quindi non riesco bene a capire l'errore per cui dici che "ragionavo su p", mi indichieresti dove? Non riesco a vederlo

L'errore te lo ha già spiegato Martino (a proposito, nessun problema per l'intrusione), ma più nello specifico dicevo che stavi pensando a $p$ perchè hai scritto "per qualunque scelta di $y$ per cui $P(y)$ sia vera, abbiamo $Q(x)$ vera per ogni elemento $x$ dell universo $U$", questa non è altro che $p$.

Ultimo ma non ultimo, non so davvero come ringraziarti per il tuo aiuto, è stato ed è fondamentale poterne parlare con qualcuno. Mi hai fatto capire tantissime cose! Prometto che se dovrò scrivere altri messaggi sarò più conciso possibile.

Prego

[krakken]

Grazie ragazzi!

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Io con la logica sono davvero una frana ma mi avete fatto capire moltissimo e credo questo sarà l'ultimo messaggio con cui vi romperò (o uno degli ultimi) perché ormai ho pressoché capito tutto quello che mi avete spiegato, solo due piccole sbavature della nella mia mente per concludere.

nel messaggio rispondo a @otta96 ma inserisco anche la riposta al punto di @Martino (inutile e dispersivo farne due perché è lo stesso punto); e comunque nessuna intrusione, chiunque intervenga fa piacere, il bello del forum è discutere no? .

Credo questo nel quote sia l'unica cosa che mi sfugge ancora in modo più profondo

]

Ora, la p è vera perchè se ∃yP(y), allora Q è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa P, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato p è vero.

qui però non hai cambiato universo? mi sembra che ne prendi uno in cui alcuni elementi soddisfano $P$ e un altro dove tutti non la soddisfano. Che mi sembra simile a quello che volevo fare.

No, ho diviso in due possibilità, una è che esista un elemento dell'universo che soddisfa $P$, l'altra che non esista. Non esistono altre possibilità, e si sta parlando sempre dello stesso universo.

Non riesco a concepire bene: se io dico che esiste una y che soddisfa P(y), allora in tutto l'universo c'è almeno una y che soddisfa quella proposizione. Se poi dico che c'è l'altro possibile caso in cui nessuna y soddisfa P(y) non va in conflitto con la prima? Nel senso, nello stesso universo non possono andar bene entrambe, mi sembra che sono mutuamente eslusive e non possano coesistere, quindi devo per forza cambiare universo per prendere i due casi.

Forse volevi dire c'è "qualche" elemento che soddisfa P(y) (quindi per quegli elementi per cui non è soddisfatta P(y) [...]), su quello sono d'accordo che non cambi universo ma se dici nessun mi sembra che sia implicito che devi cambiarlo se prima hai detto che ne esiste almeno uno. Non riesco a vedere dove sbaglio.

Però mi chiedevo non dovrei anche verificare che vera $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ sia vera anche $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ quando $(∀y,P(y))$ è falso?

Ma se l'antecedente è falso l'implicazione è vera.

Sì, certo, però se l'antecedente $(∀y,P(y))$ è falso ho che $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ è vera. Ma non è detto che sia vera $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$, in questo caso lo è perché preso l'universo per cui ogni y ho P(y) falsa allora automaticamente P(z) è valsa e quindi $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ è vera. (Dico bene?) Mi sembra di si, però ovviamente poiché triviale non l'hai considerato. Era quello che volevo dire, non che fosse errato

Comunque sia quella proposizione è particolare perché è dimostrata vera per ogni universo! Se non vado errato. No?

Il tuo esempio non è diverso, perchè praticamente la presenza della variabile si esaurisce nell'espressione tra parentesi

Ok, mi era chiaro l'intento di usare R nel senso che essendo quantificata si esauriva in sé. Più che altro volevo chiederti se in generale valesse appunto che quando R⇒∀xP'(x)⇒Q'(x) il per ogni me lo posso impunemente portare davanti: ∀x(P'(x)∧R)⇒Q'(x). Cioè questa è la regola in sostanza.



Qui rispondo anche a Martino

"per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera, abbiamo Q(x) vera per ogni elemento x dell universo U", questa non è altro che p.

la differenza tra p e q scritte da otta a livello di formule mi è chiaro, in realtà credo solo di aver preso una cantonata nel trascriverlo in linguaggio naturale, perché io pensavo proprio a q, anche se ho "tradotto" in italiano con p . Nel senso, il ragionamento era su q, ma ho riportato male la frase.
Infatti mi è chiaro come dice martino che vada letta come "se vale P(y) per ogni y allora vale Q(x) per ogni x", però non so perché mi sembrava identico che leggerla:
- [per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera] = "∀y,P(y)"
- [abbiamo] = "=>"
- [Q(x) vera per ogni elemento x di U] = "∀x,Q(x)"

mentre ho capito che voi dite che la mia scrittura sarebbe: per ogni y,(se vale P(y) allora per ogni x vale Q(x)). Beh devo allenarmi si questa "traduzione".


Direi che questo è quanto

[otta96]

Non riesco a concepire bene: se io dico che esiste una y che soddisfa P(y), allora in tutto l'universo c'è almeno una y che soddisfa quella proposizione. Se poi dico che c'è l'altro possibile caso in cui nessuna y soddisfa P(y) non va in conflitto con la prima? Nel senso, nello stesso universo non possono andar bene entrambe, mi sembra che sono mutuamente eslusive e non possano coesistere, quindi devo per forza cambiare universo per prendere i due casi.

Ma te l'universo non sai com'è fatto, una delle due sarà vera e l'altra no perchè sono escludenti, ma devi considerarle entrambe perchè appunto sono possibilità.

Ok, mi era chiaro l'intento di usare R nel senso che essendo quantificata si esauriva in sé. Più che altro volevo chiederti se in generale valesse appunto che quando R⇒∀xP'(x)⇒Q'(x) il per ogni me lo posso impunemente portare davanti: ∀x(P'(x)∧R)⇒Q'(x). Cioè questa è la regola in sostanza.

Si fondalmentalmente per le regole della logica booleana.

[sansipersico]

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Per quanto possa valere volevo ringraziarvi tutti perché mi avete insegnato un sacco di cose su cui non mi ero mai seriamente messo a ragionare. Soprattutto a otta96 anche per l'aiuto che mi sta dando in analisi su un argomento simile!

Sono un lettore silenzioso ma ci sono

[krakken]

Perfetto, allora direi che ci sono su tutto.

Manca solo questo punto

Ma te l'universo non sai com'è fatto, una delle due sarà vera e l'altra no perchè sono escludenti, ma devi considerarle entrambe perchè appunto sono possibilità.

Sì, certo, però pesavo che volesse dire considerare due universi possibili distinti (con quello intendevo cambiare universo).

Direi che sbaglio qualcosa qui, siccome sono escludenti io pensavo di dover prendere i due casi come giustamente dici, e questo lo chiamavo "cambiare universo". Invece è sbagliato dire così?

lo chiedo perché quando hai detto:

hai cambiato universo a metà, non si fa

mi fa capire che sbaglio qualcosa quando dico considero un universo per cui vale e ne considero un altro per cui non vale.

sempre in riferimeno alla tua

Ora, la p è vera perchè se ∃yP(y), allora Q è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa P, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato p è vero.

Con cambiare intendevo andare a studiare due casistiche: prendo prima un universo per cui vale P(y) per qualche elemento e studio quello e poi cambio universo e prendo quello per cui nessun elemento soddisfa P.
Dato che non esiste un unico universo in cui vale e non vale assieme la P(y) devo "cambiarlo" (cioè sceglierne un altro) per studiare entrambi i casi.

In sostanza non ho capito se uso una terminologia scorretta o sto sbagliando il concetto

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Comunque mi diverte quanto mi sto fondendo la testa su questa roba e quanto per te sia semplice e immediato sono proprio idiot lol.

[Martino]

Rispondo alla parte su cui ero intervenuto.

Infatti mi è chiaro come dice martino che vada letta come "se vale P(y) per ogni y allora vale Q(x) per ogni x", però non so perché mi sembrava identico che leggerla:
- [per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera] = "∀y,P(y)"
- [abbiamo] = "=>"
- [Q(x) vera per ogni elemento x di U] = "∀x,Q(x)"

Non è identico per niente, sono due cose molto diverse.

Se dico "se vale P(y) per ogni y allora vale Q(x) per ogni x" è come dire per esempio "se tutte le persone sono maschi allora tutte le persone sono fragole", che è vero perché l'antecedente è falso (esistono persone che non sono maschi).

Se invece dico "per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera abbiamo Q(x) vera per ogni x" è come dire (continuando l'esempio sopra) "per qualunque persona che è un maschio, ogni persona è una fragola" (che ha pochissimo senso, ma non importa), ovviamente falsa.

A me sembra chiaro, non so quale sia il problema.

Se poi restringi l'universo a un ristretto gruppo di persone, tutte di sesso maschile, allora "se tutte le persone sono maschi allora tutte le persone sono fragole" è falsa perché l'antecedente è vera ma la conseguente è falsa, e "qualunque persona che è un maschio è una fragola" continua ad essere falsa.

In ogni caso quando si scrive "$forall x P(x)$" questo si legge "per ogni $x$ vale $P(x)$", NON "per ogni $x$ tale che vale $P(x)$". Se io voglio rendere una frase del tipo "per ogni $x$ tale che vale $P(x)$, si ha che $Q(x)$ è vera" devo scrivere $forall x (P(x) => Q(x))$.

Su quello che dici dopo, mi sembra che quando ti trovi davanti a una proposizione falsa ti spaventi e "cerchi di renderla vera" cambiando universo. Ma non ti devi spaventare: una proposizione falsa è solo una proposizione falsa, capita.

[krakken]

@Martino: rispondo a te intanto che spero anche otta abbia poi tempo e voglia di rispondere alla mia ultima precedente, che è veramente l'ultimo dubbio rimasto.

Quindi grazie anche a te. Allora, guarda, il discorso mi è chiaro, non so perché a mente fredda mi sono accorto subito della stupidaggine che ho detto e mi torna benissimo quello che hai scritto. Lì sul momento ho fatto un errore e ho compromesso un po' il senso del discorso, però voglio chiarire che, sebbene abbia tradotto male in italiano, io ragionavo sempre su $(forallx,(P(x)))=>(forallx,(Q(x)))$. In mente avevo questa, a parole ho sbagliato ma nel discorso fatto no perché poi ho ragionato sulla formula

Su quello che dici dopo, mi sembra che quando ti trovi davanti a una proposizione falsa ti spaventi e "cerchi di renderla vera" cambiando universo. Ma non ti devi spaventare: una proposizione falsa è solo una proposizione falsa, capita.

No, questo posso confermarti di no per fortuna. Con otta ci capivamo perché eravamo sul suo esempio ma fuori contesto fose non si capiva.

Spiego solo se tu avessi curiosità: il discorso era questo

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$p:[(forally, P(y)=>forallx, Q(x))]=>(forallz, (P(z)=>Q(z))$
$q:[(forally, P(y))=>(forallx, Q(x))]=>(forallz, (P(z)=>Q(z))$

Qui hai scritto la $q$ ma hai ragionato sulla $p$ e hai cambiato universo a metà, non si fa
Ora, la $p$ è vera perchè se $EEyP(y)$, allora $Q$ è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa $P$, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato $p$ è vero.

e quello che volevo dire era che se prendo un universo per cui P(y) è vera per qualche y, mi sembrava che dovessi cambiare universo perché nessun y soddisfasse P(y).
Non mi sembrava le due condizioni potessero coesistere nello stesso universo, quindi stavo dicendo che dovevo cambiarlo per verificare i due casi su P(y). Il senso del discorso era solo questo. E non ho capito se "cambiare" universo fosse una terminologia sbagliata. Quindi chiedevo semplicemente ciò nel mio ultimo messaggio sopra al tuo.

[Martino]

io ragionavo sempre su $forallx,(P(x))=>forallx(Q(x))$.

Il problema, almeno da parte mia, è che non capisco cosa hai scritto. Provo a dare la mia interpretazione: chiamando $R(x)$ la proposizione "$P(x)=>(forall y Q(y))$" quello che hai scritto tu è "$forall x R(x)$" giusto?

[krakken]

E' stato un typo nell'editing che ho fatto perché volevo scrivere con più parentesi per rendere più esplicito il significato: $(forallx,(P(x)))=>(forallx,(Q(x)))$. Scusami.
Cioè, $(forallx,P(x))=>(forallx,Q(x))$ e su questa ragionavo fin dall'inizio.

Come dicevo prima e lo riporto qua per otta così on deve rileggersi subito, in realtà il resto mi pare tutto chiaro, a parte quel typo. L'unica parte che mi mancava da chiarirmi era, mi pare

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Perfetto, allora direi che ci sono su tutto.

Manca solo questo punto

Ma te l'universo non sai com'è fatto, una delle due sarà vera e l'altra no perchè sono escludenti, ma devi considerarle entrambe perchè appunto sono possibilità.

Sì, certo, però pesavo che volesse dire considerare due universi possibili distinti (con quello intendevo cambiare universo).

Direi che sbaglio qualcosa qui, siccome sono escludenti io pensavo di dover prendere i due casi come giustamente dici, e questo lo chiamavo "cambiare universo". Invece è sbagliato dire così?

lo chiedo perché quando hai detto:

hai cambiato universo a metà, non si fa

mi fa capire che sbaglio qualcosa quando dico considero un universo per cui vale e ne considero un altro per cui non vale.

sempre in riferimeno alla tua

Ora, la p è vera perchè se ∃yP(y), allora Q è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa P, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato p è vero.

Con cambiare intendevo andare a studiare due casistiche: prendo prima un universo per cui vale P(y) per qualche elemento e studio quello e poi cambio universo e prendo quello per cui nessun elemento soddisfa P.
Dato che non esiste un unico universo in cui vale e non vale assieme la P(y) devo "cambiarlo" (cioè sceglierne un altro) per studiare entrambi i casi.

In sostanza non ho capito se uso una terminologia scorretta o sto sbagliando il concetto

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Comunque mi diverte quanto mi sto fondendo la testa su questa roba e quanto per te sia semplice e immediato sono proprio idiot lol.