da AleBoschi03 » 02/02/2024, 23:22
La tua intuizione è corretta, ma c'è un piccolo errore nella formulazione. Se consideri la retta che parte da 0 e si estende fino a +∞ includendo solo i numeri positivi, puoi effettivamente dire che la cardinalità di questo insieme è contabile e quindi numerabile.
Quindi, in questo caso, la cardinalità dell'insieme dei numeri reali positivi è la stessa di quella degli interi positivi, cioè è numerabile. La cardinalità di un insieme numerabile è rappresentata da N, il numero dei numeri naturali.
La tua formula "2N+1" sembrerebbe suggerire una cardinalità dispari, ma in realtà la cardinalità degli interi positivi (e quindi dei numeri reali positivi) è semplicemente N, senza l'aggiunta di +1.
Quindi, per correggere, puoi dire che la cardinalità dell'insieme dei numeri reali positivi è N, e non 2N+1.
L'insieme dei numeri reali positivi, spesso indicato con ℝ⁺, rappresenta tutti i numeri reali maggiori di zero. Se consideriamo la retta reale e prendiamo solo i numeri positivi su questa retta, avremo un insieme infinito di numeri, ma questo insieme è comunque numerabile.
Per capire meglio, possiamo associare ogni numero reale positivo a un numero naturale. Possiamo fare ciò in vari modi, uno dei più comuni è l'associazione seguente:
1 → 1
2 → 2
3 → 3
4 → 4
...
Ogni numero naturale è associato a se stesso. Quindi, ad esempio, possiamo associare il numero naturale 1 al numero reale positivo 1, il numero naturale 2 al numero reale positivo 2, e così via. In questo modo, abbiamo stabilito una corrispondenza uno a uno tra i numeri naturali e i numeri reali positivi.
Questo dimostra che l'insieme dei numeri reali positivi è numerabile, e quindi ha una cardinalità di ℵ₀ (omega-naught), che è la cardinalità degli interi positivi.
La tua formulazione "2N+1" sembra implicare una cardinalità dispari, ma questa formula è associata a un insieme di numeri dispari. Nella nostra situazione, la corretta rappresentazione della cardinalità è N (omega-naught), senza il termine aggiuntivo +1.
In sintesi, la cardinalità dell'insieme dei numeri reali positivi è numerabile e rappresentata da ℵ₀, che è la stessa cardinalità degli interi positivi.