Insieme vuoto

devo dimostrare che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme improprio di un generico insieme A:

$0 sube A$

pero' non so da dove partire...
Diciamo che so che un'insieme vuoto non ha elementi e che puo' essere visto come elemento di un generico insieme ($n$ sottoinsiemi possono essere considerati elementi dell'insieme stesso), ma non riesco ad arrivare alla dimostrazione richiesta. Probabilmente conosco i concetti ma ancora non riesco a collegarli.... suggerimenti???

PS. nel frattempo ci sto comunque pensando

Sia $A$ un insieme generico.
Devi dimostrare che:
$AA x, $ $x in O/ rArr x in A$.
Detto in italiano: "Qualunque elemento appartenente all'insieme vuoto appartiene ad $A$"
Questa frase è vera o falsa? Perchè?

Credo sia falsa perche' per definizione l'insieme vuoto non ha elementi se non se stesso come sottoinsieme improprio:

$ O/ := {x | x != x}$
$ O/ sube O/$

Ci stavo pensando....

Allora supponiamo di avere un'insieme B che e' sottoinsieme di un generico insieme A, e se nessun elemento di A appartiene a B allora B e' un insieme vuoto, da cui posso dire che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme dell'insieme A.

Sempre che sia corretto provo a formalizzare il pensiero:

$(B sub A)(AA x in A => x notin B = O/ sube A)$

Io ripenserei alle definizioni di sottoinsieme e di insieme vuoto.

Mettiamola in modo più estremo.

($x \in \emptyset$) $=>$ ($"sta piovendo"$)

E' vera questa implicazione?

A questo punto riporto la tabella della verità dell'implicazione per lasciar confrontare GundamRX91 con questo "brutto scherzo" (1) della logica e la seguente frase di Duns Scoto (2): Ex falso seguitur quodlibet (3)!

§§§

(1) Mi sia concesso!
(2) Credo che ci siano dei dubbi sull'autore!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

(3) Dal falso segue ogni cosa!

Io ripenserei alle definizioni di sottoinsieme e di insieme vuoto.

un insieme B e' sottoinsieme di un'insieme A quando tutti gli elementi di B appartengono ad A:

$ B sube A$

in pratica abbiamo che l'insieme $B$ e' formato da $B = { AAx in A}$

L'insieme vuoto invece e' definito per non avere elementi: $O/ = { }$

Edit: non mi visualizza le parentesi graffe dell'insieme vuoto.... come si fa??
Edit 2: avevo sbagliato a scrivere....

Ultima modifica di GundamRX91 il 23/09/2010, 09:57, modificato 3 volte in totale.

Mettiamola in modo più estremo.

($x \in \emptyset$) $=>$ ($"sta piovendo"$)

E' vera questa implicazione?

questa implicazione dovrebbe essere vera perche' l'enunciato "sta piovendo" e' vero a prescindere che $x$ appartenza o meno all'insieme vuoto $O/$

Ci stavo pensando....

Allora supponiamo di avere un'insieme B che e' sottoinsieme di un generico insieme A, e se nessun elemento di A appartiene a B allora B e' un insieme vuoto, da cui posso dire che l'insieme vuoto e' un sottoinsieme dell'insieme A.

Sempre che sia corretto provo a formalizzare il pensiero:

$(B sub A)(AA x in A => x notin B = O/ sube A)$

ma la frase in grassetto e' vera oppure no?