04/07/2024, 13:48
krakken ha scritto:(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x)) vero può voler dire solo due cose separatamente:
-a- per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera, abbiamo Q(x) vera per ogni elemento x dell universo U;
04/07/2024, 15:17
krakken ha scritto:]qui però non hai cambiato universo? mi sembra che ne prendi uno in cui alcuni elementi soddisfano $P$ e un altro dove tutti non la soddisfano. Che mi sembra simile a quello che volevo fare.
Spero di aver ben capito ora grazie alla tua spiegazione (?)
Però mi chiedevo non dovrei anche verificare che vera $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ sia vera anche $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ quando $(∀y,P(y))$ è falso?
Quindi mi chiedo se avessi qualcosa tipo: $(forally(R(y)))⇒[∀xP'(x)⇒Q'(x)]$ varrebbe ancora: $∀x(forally(P'(x)∧R(y))⇒Q'(x)$?
insomma questa cosa non ho capito come e quando sfruttarla e il ragioamento che mi permette di portare il $forall$ davanti a tutto.
p e q
Vediamo, se ho ben capito il mio errore iniziale, sebbene in realtà fin da principio pensassi a q, volevo capire meglio la p, in sostanza
$p:[∀yP(y)⇒∀xQ(x)]⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ vuol dire scrivere $[∀y,(P(y)⇒∀xQ(x))]⇒(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ giusto?
Io la leggevo così, quindi non riesco bene a capire l'errore per cui dici che "ragionavo su p", mi indichieresti dove? Non riesco a vederlo
Ultimo ma non ultimo, non so davvero come ringraziarti per il tuo aiuto, è stato ed è fondamentale poterne parlare con qualcuno. Mi hai fatto capire tantissime cose! Prometto che se dovrò scrivere altri messaggi sarò più conciso possibile.
05/07/2024, 12:09
Non riesco a concepire bene: se io dico che esiste una y che soddisfa P(y), allora in tutto l'universo c'è almeno una y che soddisfa quella proposizione. Se poi dico che c'è l'altro possibile caso in cui nessuna y soddisfa P(y) non va in conflitto con la prima? Nel senso, nello stesso universo non possono andar bene entrambe, mi sembra che sono mutuamente eslusive e non possano coesistere, quindi devo per forza cambiare universo per prendere i due casi.krakken ha scritto:]Ora, la p è vera perchè se ∃yP(y), allora Q è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa P, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato p è vero.
qui però non hai cambiato universo? mi sembra che ne prendi uno in cui alcuni elementi soddisfano $P$ e un altro dove tutti non la soddisfano. Che mi sembra simile a quello che volevo fare.
No, ho diviso in due possibilità, una è che esista un elemento dell'universo che soddisfa $P$, l'altra che non esista. Non esistono altre possibilità, e si sta parlando sempre dello stesso universo.
Sì, certo, però se l'antecedente $(∀y,P(y))$ è falso ho che $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ è vera. Ma non è detto che sia vera $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$, in questo caso lo è perché preso l'universo per cui ogni y ho P(y) falsa allora automaticamente P(z) è valsa e quindi $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ è vera. (Dico bene?) Mi sembra di si, però ovviamente poiché triviale non l'hai considerato. Era quello che volevo dire, non che fosse erratoPerò mi chiedevo non dovrei anche verificare che vera $(∀z,(P(z)⇒Q(z))$ sia vera anche $[(∀y,P(y))⇒(∀x,Q(x))]$ quando $(∀y,P(y))$ è falso?
Ma se l'antecedente è falso l'implicazione è vera.
Ok, mi era chiaro l'intento di usare R nel senso che essendo quantificata si esauriva in sé. Più che altro volevo chiederti se in generale valesse appunto che quando R⇒∀xP'(x)⇒Q'(x) il per ogni me lo posso impunemente portare davanti: ∀x(P'(x)∧R)⇒Q'(x). Cioè questa è la regola in sostanza.Il tuo esempio non è diverso, perchè praticamente la presenza della variabile si esaurisce nell'espressione tra parentesi
la differenza tra p e q scritte da otta a livello di formule mi è chiaro, in realtà credo solo di aver preso una cantonata nel trascriverlo in linguaggio naturale, perché io pensavo proprio a q, anche se ho "tradotto" in italiano con p . Nel senso, il ragionamento era su q, ma ho riportato male la frase."per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera, abbiamo Q(x) vera per ogni elemento x dell universo U", questa non è altro che p.
05/07/2024, 16:52
krakken ha scritto:Non riesco a concepire bene: se io dico che esiste una y che soddisfa P(y), allora in tutto l'universo c'è almeno una y che soddisfa quella proposizione. Se poi dico che c'è l'altro possibile caso in cui nessuna y soddisfa P(y) non va in conflitto con la prima? Nel senso, nello stesso universo non possono andar bene entrambe, mi sembra che sono mutuamente eslusive e non possano coesistere, quindi devo per forza cambiare universo per prendere i due casi.
Ok, mi era chiaro l'intento di usare R nel senso che essendo quantificata si esauriva in sé. Più che altro volevo chiederti se in generale valesse appunto che quando R⇒∀xP'(x)⇒Q'(x) il per ogni me lo posso impunemente portare davanti: ∀x(P'(x)∧R)⇒Q'(x). Cioè questa è la regola in sostanza.
05/07/2024, 16:52
05/07/2024, 16:59
Sì, certo, però pesavo che volesse dire considerare due universi possibili distinti (con quello intendevo cambiare universo).otta96 ha scritto:Ma te l'universo non sai com'è fatto, una delle due sarà vera e l'altra no perchè sono escludenti, ma devi considerarle entrambe perchè appunto sono possibilità.
mi fa capire che sbaglio qualcosa quando dico considero un universo per cui vale e ne considero un altro per cui non vale.hai cambiato universo a metà, non si fa
Ora, la p è vera perchè se ∃yP(y), allora Q è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa P, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato p è vero.
05/07/2024, 17:34
krakken ha scritto:Infatti mi è chiaro come dice martino che vada letta come "se vale P(y) per ogni y allora vale Q(x) per ogni x", però non so perché mi sembrava identico che leggerla:
- [per qualunque scelta di y per cui P(y) sia vera] = "∀y,P(y)"
- [abbiamo] = "=>"
- [Q(x) vera per ogni elemento x di U] = "∀x,Q(x)"
05/07/2024, 19:09
No, questo posso confermarti di no per fortuna. Con otta ci capivamo perché eravamo sul suo esempio ma fuori contesto fose non si capiva.Su quello che dici dopo, mi sembra che quando ti trovi davanti a una proposizione falsa ti spaventi e "cerchi di renderla vera" cambiando universo. Ma non ti devi spaventare: una proposizione falsa è solo una proposizione falsa, capita.
e quello che volevo dire era che se prendo un universo per cui P(y) è vera per qualche y, mi sembrava che dovessi cambiare universo perché nessun y soddisfasse P(y).$p:[(forally, P(y)=>forallx, Q(x))]=>(forallz, (P(z)=>Q(z))$
$q:[(forally, P(y))=>(forallx, Q(x))]=>(forallz, (P(z)=>Q(z))$
Qui hai scritto la $q$ ma hai ragionato sulla $p$ e hai cambiato universo a metà, non si fa
Ora, la $p$ è vera perchè se $EEyP(y)$, allora $Q$ è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa $P$, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato $p$ è vero.
05/07/2024, 20:46
Il problema, almeno da parte mia, è che non capisco cosa hai scritto. Provo a dare la mia interpretazione: chiamando $R(x)$ la proposizione "$P(x)=>(forall y Q(y))$" quello che hai scritto tu è "$forall x R(x)$" giusto?krakken ha scritto:io ragionavo sempre su $forallx,(P(x))=>forallx(Q(x))$.
05/07/2024, 21:36
Sì, certo, però pesavo che volesse dire considerare due universi possibili distinti (con quello intendevo cambiare universo).otta96 ha scritto:Ma te l'universo non sai com'è fatto, una delle due sarà vera e l'altra no perchè sono escludenti, ma devi considerarle entrambe perchè appunto sono possibilità.
mi fa capire che sbaglio qualcosa quando dico considero un universo per cui vale e ne considero un altro per cui non vale.hai cambiato universo a metà, non si fa
Ora, la p è vera perchè se ∃yP(y), allora Q è vera per tutti gli elementi e quindi banalmente è vero anche il conseguente. Se invece nessun elemento soddisfa P, il conseguente ha l'antecedente mai soddisfatto quindi è vero. Quindi tutto considerato p è vero.
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