Cavo coassiale: campi e cariche
Inviato: 08/02/2019, 12:59Ciao, ho un esercizio che ho svolto sulla cui correttezza ho però dei dubbi... qualcuno ci può buttare uno sguardo?
Un cavo coassiale di un conduttore cilindrico di rame di raggio $a$, circondato da polietilene (\epsilon_r) in forma di cilindro coassile e raggio esterno $b$, protetto infine all'esterno da uno strato di conduttore di spessore trascurabile. Il conduttore interno è mantenuto ad un potenziale $V$, mentre quello interno è posto a terra.
a) Scrivere le espressioni dei campi $E$ e $D$ all'interno del dielettrico sia in funzione di $sigma$ che in funzione di $lambda$.
Usando Gauss su un cilindro coassiale di raggio $r$ e altezza $d$: \(\displaystyle D2\pi r d=q=\sigma S=\lambda l \), con \(\displaystyle l=d \), \(\displaystyle S=2\pi a d \). Quindi \(\displaystyle D=\sigma a/r, E=\sigma a/\epsilon r \) in termini della densità superficiale, e \(\displaystyle D=\lambda/2\pi r, E=\lambda/\epsilon 2\pi r \) in termini di quella lineare. Il tutto chiaramente in direzione radiale uscente...
b) Valori di \(\displaystyle \lambda,\sigma \) sul conduttore interno ed esterno.
Considero il sistema come un condensatore cilindrico, di capacità \(\displaystyle C=2\pi\epsilon d/\ln(b/a) \); la carica sulle armature è quindi \(\displaystyle q=CV \). Da qui ho: \[\sigma=q/S\epsilon V/a\ln(b/a), \ \lambda=q/d=2\pi\epsilon V/\ln(b/a), \ \sigma'=\epsilon V/b\ln(b/a), \ \lambda'=\lambda. \] (c) Cariche e densità di polarizzazione per unità di lunghezza.
Ricavo il vettore di polarizzazione: \(\displaystyle P=(\epsilon_r-1)\sigma/\epsilon_r r \). Quindi: \[\displaystyle \rho_p=-\text{div }P\mathbf{e}_r=0, \ \sigma_p=(\epsilon_r-1)\sigma/\epsilon_r a, \ \sigma_p'=(\epsilon_r-1)\sigma'/\epsilon_r b. \] d) L'energia elettrostatica del cilindro per unità di lunghezza.
In coordinate cilindriche, \[\displaystyle U=\int \frac{1}{2}ED d\tau=\int_0^{2\pi}\int_a^b \frac{1}{2}\left(\frac{\sigma^2a^2}{\epsilon}\right)\frac{1}{r^2}rdrd\phi=\frac{\pi\sigma^2a^2}{\epsilon}\ln(b/a). \]
Un cavo coassiale di un conduttore cilindrico di rame di raggio $a$, circondato da polietilene (\epsilon_r) in forma di cilindro coassile e raggio esterno $b$, protetto infine all'esterno da uno strato di conduttore di spessore trascurabile. Il conduttore interno è mantenuto ad un potenziale $V$, mentre quello interno è posto a terra.
a) Scrivere le espressioni dei campi $E$ e $D$ all'interno del dielettrico sia in funzione di $sigma$ che in funzione di $lambda$.
Usando Gauss su un cilindro coassiale di raggio $r$ e altezza $d$: \(\displaystyle D2\pi r d=q=\sigma S=\lambda l \), con \(\displaystyle l=d \), \(\displaystyle S=2\pi a d \). Quindi \(\displaystyle D=\sigma a/r, E=\sigma a/\epsilon r \) in termini della densità superficiale, e \(\displaystyle D=\lambda/2\pi r, E=\lambda/\epsilon 2\pi r \) in termini di quella lineare. Il tutto chiaramente in direzione radiale uscente...
b) Valori di \(\displaystyle \lambda,\sigma \) sul conduttore interno ed esterno.
Considero il sistema come un condensatore cilindrico, di capacità \(\displaystyle C=2\pi\epsilon d/\ln(b/a) \); la carica sulle armature è quindi \(\displaystyle q=CV \). Da qui ho: \[\sigma=q/S\epsilon V/a\ln(b/a), \ \lambda=q/d=2\pi\epsilon V/\ln(b/a), \ \sigma'=\epsilon V/b\ln(b/a), \ \lambda'=\lambda. \] (c) Cariche e densità di polarizzazione per unità di lunghezza.
Ricavo il vettore di polarizzazione: \(\displaystyle P=(\epsilon_r-1)\sigma/\epsilon_r r \). Quindi: \[\displaystyle \rho_p=-\text{div }P\mathbf{e}_r=0, \ \sigma_p=(\epsilon_r-1)\sigma/\epsilon_r a, \ \sigma_p'=(\epsilon_r-1)\sigma'/\epsilon_r b. \] d) L'energia elettrostatica del cilindro per unità di lunghezza.
In coordinate cilindriche, \[\displaystyle U=\int \frac{1}{2}ED d\tau=\int_0^{2\pi}\int_a^b \frac{1}{2}\left(\frac{\sigma^2a^2}{\epsilon}\right)\frac{1}{r^2}rdrd\phi=\frac{\pi\sigma^2a^2}{\epsilon}\ln(b/a). \]