gabriella127 ha scritto:Visto che cerchi una impostazione formale, secondo me queste sono equazioni diofantee (il nome fa paura eh?), cioè equazioni in cui le soluzioni che si cercano sono dei numeri interi e anche i coefficienti sono interi https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_diofantea
Le incognite sono il numero di monete, i coefficienti sono i valori possibili, che possiamo prendere come numeri interi moltiplicando per100, cioè contando il numero di centesimi, es. invece di $ 0,02 $ euro prendiamo $ 2 $ centesimi etc.
Chiamando $ x_1,...,x_6 $ il numero di monete rispettivamente di $ 1, 2 ,5, 10, 20, 50 $ possiamo scrivere:
$ x_1+2x_2+5x_3+10 x_4+20x_5+50x_6=88 $ (la somma di valori deve fare $ 88 $)
$ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=6 $ (le monete devono essere in totale $ 6 $)
E inoltre le soluzioni devono essere positive.
Come si risolve il sistema algebricamente, cioè con un metodo algebrico, non a casaccio per tentativi?
Boh, le mie reminiscenze di algebra finiscono qui, chiedetelo a quelli di algebra
Mi sa che è meglio il metodo informale.
Le equazioni diofantee non sono roba da scuola, più università, e men che meno da Secondaria I grado.
Secondo me ti complichi la vita. Generalmente questo tipo di problemi funziona bene se trovi un polinomio o una funzione generatrice che ti risolve il problema in un modo combinatorio, e poi ti basta cercare un coefficiente di un termine del polinomio. Ad esempio nel nostro caso
\[ P(x) = x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \]
dove la \(x\) è semplicemente una indeterminata, e gli esponenti rappresentano i valori delle monete possibili. Ora siccome abbiamo sei monete e vogliamo avere 88 euro prendiamo
\[ Q(x) = P^6(x)= \left( x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^6 \]
l'esponenete \(6 \) c'è perché abbiamo 6 monete e ciascuna può essere presa con quei valori. Ora basta cercare il coefficiente di \(x^{88} \) in \(Q(x) \) e dividere per possibili ripetizioni. Nel nostro caso abbiamo che il coefficiente di \(x^{88} \) in \(Q(x) \) è \(720 \). Ora \(720=6! \) quindi già qui credo potremmo concludere che ci sia solo una combinazione possibile a meno di permutazione. Comunque sia se vogliamo essere più precisi (visto che non è comunque sempre il caso):
\[ \left( x + x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k \left( x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^{6-k} \]
abbiamo che il coefficiente di \(x^{88} \) in \( Q(x) \) dalla formula seguente
\[ 720= \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} c_{k} \]
dove \( c_k \) è il coefficiente di \( x^{88-k} \) in \( \left( x^2 + x^5 + x^{10} + x^{20} + x^{50} \right)^{6-k} \). Vediamo facilmente che \( c_k = 0 \) per \(k \neq 1 \) e \( c_k= 5! \) per \( k=1 \). Continuando in questo modo abbiamo che
\[720 x^{88} = (6 x) \cdot (5 x^2 ) \cdot (4 x^5 ) \cdot (3 x^{10} ) \cdot (2 x^{20} ) \cdot ( 1 x^{50} ) \]
da cui abbiamo una sola possibilità (a meno di permutazioni) con sei monete che ci restituisce \(88\). Ovver
\[ 1+2+3+5+10+20+50 = 88 \]
tutte le altre combinazioni di 6 monete ci restituiscono un valore diverso.
