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Salve a tutti, ho un piccolo dubbio sul dominio di questa funzione
$y=sqrt(x^4-x^2)$
se scompongo l'argomento posso riscriverlo come
$y=sqrt(x^2*(x^2-1))$
a questo punto imposto che $x^2(x^2-1)>=0$
quando però faccio lo studio del segno lo zero fa parte delle soluzioni del primo fattore ma non del secondo che risulta negativo per numeri tra -1 e 1. Cosa sbaglio? zero va bene perchè nel secondo non compare?
Grazie mille

$0*(-1)=$?

ghira ha scritto:$0*(-1)=$?

Si lo so che se diventa zero $x^2$ trascina a zero anche la parentesi; questo significa però che devo disegnare lo zero anche nel secondo studio del segno, nonostante non compaia tra le soluzioni di $x^2-1>=0$


e se......io lo riscrivessi così all'inizio
$|x|sqrt(x^2-1)$
lo zero non sarebbe ammesso giusto?
quale delle due versioni devo utilizzare? quella iniziale o quella con il modulo di x?
Grazie

$x^4-x^2>=0$

$t=x^2$

$t^2-t>=0\ \ \ \ \ ->\ \ \ \ \ t<=0 uu t>=1\ \ \ \ \ ->\ \ \ \ \ x^2<=0 uu x^2>=1$

$x^2<=0\ \ \ \ \ ->\ \ \ \ \ x=0$

$x^2>=1\ \ \ \ \ ->\ \ \ \ \ x<= -1 uu x>=1$

Soluzioni:

$x<= -1 uu x>=1 uu x=0$

Vero Alex, si poteva fare anche con la variabile ausiliaria, ma se si facesse solo con lo studio del segno devo solo ricordarmi che il dominio richiede maggiore o uguale a zero.
Per il maggiore vanno bene gli intervalli minori di -1 e maggiori di 1, per lo zero va bene dove diventa zero il primo fattore che di conseguenza fa diventare zero anche l'altro.

Ma.....se invece porto fuori la x dalla radice? non va bene vero??

Marco, il punto è che l'uguaglianza

(*) $sqrt(ab)=sqrt(a)*sqrt(b)$

vale solo se $a$ e $b$ sono entrambi non negativi. Nel tuo caso $a=x^2$ è non negativo ma $b=x^2-1$ è non negativo solo per $x ge 1$ unito $x le -1$. Nel caso in cui $-1 < x < 1$ non si può applicare l'uguaglianza (*), ovvero non si può tirare fuori $x^2$ dalla radice.

Il dominio della funzione corrisponde ai valori per cui $ x^4-x^2>=0 $.
Giustamente hai scritto $ x^2(x^2-1)>=0 $.
Poiché $ x^2 $ è sempre maggiore di 0, il segno del prodotto tra $ x^2(x^2-1) $ è determinato da quello di $ x^2-1 $.
Quindi il dominio della funzione corrisponde ai valori per cui $ x^2-1>=0 $, cioè $ x<=-1vv x>=1 $.
Spero che la spiegazione sia abbastanza chiara.

@darmmm, anche $x=0$ è soluzione.

Martino ha scritto:Marco, il punto è che l'uguaglianza

(*) $sqrt(ab)=sqrt(a)*sqrt(b)$

vale solo se $a$ e $b$ sono entrambi non negativi. Nel tuo caso $a=x^2$ è non negativo ma $b=x^2-1$ è non negativo solo per $x ge 1$ unito $x le -1$. Nel caso in cui $-1 < x < 1$ non si può applicare l'uguaglianza (*), ovvero non si può tirare fuori $x^2$ dalla radice.

Grazie Martino, era propri questo il mio problema. Lo zero andava bene se tenevo $x^2$ dentro la radice ma se poi portavo fuori avrei avuto la radice di un negativo quindi non sapevo come comportarmi.