Calcolo del volume

[mel__]

Buongiorno a tutti!
Sto cercando di svolgere questo esercizio sul volume ma non ho proprio idea da dove partire anche perché non riesco proprio a capire come è fatto il solido.

Grazie in anticipo per l'aiuto

[axpgn]

Ogni retta orizzontale che taglia quella curva genera un segmento che è la base di un triangolo equilatero che "esce" dal foglio verso di te (o viceversa)

[ghira]

ogni retta verticale, no?

[axpgn]

Sì, hai ragione, verticale, sorry.

[mel__]

Non so se ho capito bene. Quindi se la sezione è un triangolo, il solido dovrebbe essere una piramide?
Nel momento in cui devo calcolare il volume $dV$ dovrei considerare che la base del triangolo è $3x^2-x^3$ e quindi l'altezza del triangolo equilatero è $\sqrt3/2(3x^2-x^3)$? Così da ottenere:
$dV=(((3x^2-x^3)(\sqrt3/2(3x^2-x^3)))/2dx)/3$ dove dx è l'altezza del solido?
E poi dovrei integrare $dV$ tra 0 e 3?
Grazie ancora per l'aiuto!

[axpgn]

Mi sbaglierò ma non vedo perché dovresti dividere per $3$

[mel__]

Pensavo si dovesse utilizzare la formula del volume della piramide

[axpgn]

E perché? Stai per caso utilizzando l'area di base nei tuoi conti? No.
Stai invece sommando infiniti prismi a base triangolare (equilatera) di spessore infinitesimo.
A me pare sia così ...

[gio73]

Anche a me

Se vuoi immaginarti il solido

Cerca i punti medi dei vari segmenti verticali che ottieni tagliando a fettine la superficie S, ora immagina di alzare quei punti di $sqrt3/2f(x)$,otterrai una sorta di crinale.

[mel__]

Ahh ok. Pensavo che ogni volta per scrivere la formula per dV dovessi pensare alla formula del volume del solido corrispondente e pensavo fosse la piramide.
Quindi per trovare il volume V devo risolvere questo integrale?
$ V=\int_0^3\sqrt3/4(3x^2-x^3)^2\ \text{d} x $