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Ho bisogno del vostro aiuto perché mi sto scervellando a capire un concetto che mi sfugge...

Devo trovare il Campo di Esistenza di una funzione:

$ y=ln (ln x) $

A quanto mi è sembrato di capire, la funzione logaritmo necessita dell'argomento maggiore di zero per esistere. Allora, nel nostro caso, si devono tenere insieme due condizioni:

$ ln x>0 $
e
$ x>0 $

La prima delle due comporta che:

$ x>1 $

Quindi se io metto a sistema queste due cose, ho:



Però la soluzione del libro è diversa, infatti è:

$ x>1 $


Cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?

Gregorius ha scritto: $ x>0 $

E poi nell'immagine dici $x<0$. Perché?

ghira ha scritto:

Gregorius ha scritto: $ x>0 $

E poi nell'immagine dici $x<0$. Perché?

Perché è il risultato del mio tentativo di fare il cosiddetto "studio del segno", se sommo quelle due linee, ne risulta quella in basso... ho sbagliato?

Gregorius ha scritto:Perché è il risultato del mio tentativo di fare il cosiddetto "studio del segno", se sommo quelle due linee, ne risulta quella in basso... ho sbagliato?

Non ti seguo. Dici $x>0$ e $x>1$. E deduci che $x$ deve essere simultaneamente minore di 0 e maggiore di 1. Perché?

Se $x>0$ e $x>1$ sembra evidente che $x>1$ e buonanotte.

ghira ha scritto:

Gregorius ha scritto:Perché è il risultato del mio tentativo di fare il cosiddetto "studio del segno", se sommo quelle due linee, ne risulta quella in basso... ho sbagliato?

Non ti seguo. Dici $x>0$ e $x>1$. E deduci che $x$ deve essere simultaneamente minore di 0 e maggiore di 1. Perché?

Se $x>0$ e $x>1$ sembra evidente che $x>1$ e buonanotte.

Guarda ad esempio questa immagine:



Come mai due linee di "tratteggiate" danno poi una linea di "più"? Io mi sono basato su questo tipo di ragionamento

Ne ho un'altra con lo stesso tipo di difficoltà:

$ y = (ln x)/(sqrt(x^2-25)) $

Anche in questo dobbiamo avere tre condizioni per il Campo di Esistenza:

$ x>0 $
$ x> -5 $
$ x>5 $

Allora come si procede ora?
Si fa quello schema delle linee tratteggiate? Oppure si vede dove sono verificate tutte insieme le diverse condizioni?

Nel primo caso si ha:
$ -5 <x>0^^ x>5 $
Nel secondo caso invece si ha:
$ x>5 $

studiare i segni e studiare l'esistenza sono due cose diverse.

In questo esercizio su $ln(ln(x))$ non ti chiedono dove è positivo, zero o negativo, solo dove è definito.

Gregorius ha scritto:Ne ho un'altra con lo stesso tipo di difficoltà:

$ y = (ln x)/(sqrt(x^2-25)) $

Anche in questo dobbiamo avere tre condizioni per il Campo di Esistenza:

$ x>0 $
$ x> -5 $
$ x>5 $

No. Abbiamo due condizioni, direi.

$x>0$ perché altrimenti $ln(x)$ non esiste.

E $x<-5 \cup x>5$ perché altrimenti la radice quadrata non esiste.

Per soddisfare entrambe le condizioni, bisogna avere $x>5$. Fine.

Gregorius ha scritto: $ -5 <x>0^^ x>5 $

Perché $-5<x$?

E sei sicuro/a di conoscere la differenza fra $\cup$ e $\cap$?

Stai mescolando cose diverse ...

Nella funzione originaria ($y=ln(ln(x))$), affinché sussista si devono verificare CONTEMPORANEAMENTE due condizioni, quelle che hai scritto.
Le soluzioni di una disequazione sono, in generale, un INSIEME, quindi avrai l'insieme delle soluzioni della prima disequazione ($ln(x)>0$) e l'insieme delle soluzioni della seconda disequazione ($x>0$).
La funzione esiste per quei valori della $x$ che si trovano sia nel primo che nel secondo insieme e perciò le trovi facendo l'intersezione fra i due, non l'unione.