Problema geometrico

[andreas78]

Buon giorno avrei questo problema:

Calcolare i lati di un triangolo isoscele conoscendo il raggio "r" della circonferenza circoscritta e la mediana "m" ad uno dei lati obbliqui.

Il testo mi chiede di indicare la base AB=2y e l´altezza ugale ad X.
Grazie

[astrobaro]

il testo ti fornisce anche le misure? O sai solo che sono noti?

[andreas78]

No, si sa solo che sono noti raggio "r" e mediana al lato obbliquo "m"
Fornisce 0 ≤ x ≤ 2r 0 ≤ y ≤ r
La condizione di base é che essendo un triangolo isoscele h é mediana della base. quindi il L= √[ h2 + (b / 2)2 ]
Dovrei trovare una relazione con la mediana o il raggio per arrivare a creare un sistema da discutere?
Grazie

[astrobaro]

premetto che non so quale anno si superiori stai frequantando o in generale non so se hai mai visto il teorema della mediana (neanch'io l'ho mai visto quindi non ho un indizio su quando lo si affronti a scuola), però ipotizzando che lo abbiate fatto e che quindi si possa usare per la risoluzione dei problemi, io ho provato a fare così:
indicherò con "l" i lati obliqui, con "X" l'altezza del triangolo e con "2y" la base;
impostiamo un sistema a tre incognite (quelle scritte sopra).

$\{(l^2 = x^2 + y^2),(r^2 = y^2 + (x-r)^2),(2m^2 = (2y)^2 + l^2 - l/2^2):}$

in questo modo dovresti avere un sistema che ti relaziona le varie quantità.
Spero di essere stato di aiuto ma soprattutto spero sia giusto.

P.S. in tutto ciò mi sono basato su una figura dove il centro del cerchio è interno la triangolo, visto che come diceva il testo 0<x<2r, se il centro fosse stato esterno e quindi l'altezza fosse stata minore del raggio sarebbe stao più logico scrivere 0<x<r, però sono solo mie supposizioni

[andreas78]

grazie mille III liceo scientifico. Probabilmente come dice lei ha piú senso, ma le riporto quello che il testo indica. Grazie mille

[mgrau]

Nel forum usiamo il "tu"

[andreas78]

L unica cosa che non riesco a svolgere il sistema .. scusa ma sono capra:-)

[astrobaro]

ah ok bene, anch'io l'anno prossimo andrò in III liceo scientifico, quindi magari capiterà anche a me una cosa del genere, sempre meglio prepararsi prima; comunque, tornando al sistema:

dalla prima equazione:

$y^2$ = $l^2$ - $x^2$ (1)
$r^2$ = $y^2$ + $x^2$ + $r^2$ - $2xr$ (2)
$4m^2$ = $8y^2$ + $3l^2$ (3)

semplificando i due $r^2$ rimane solo

$y^2$ + $x^2$ - $2xr$ = 0

dopodichè sostituiamo la $y^2$ e il tutto diventa

$l^2$ = $2xr$ (2)
$4m^2$ = $8l^2$ - $8x^2$ + $3l^2$ (3)

Sostituisco in (3) $l^2$ :

$4m^2$ = $22xr$ - $8x^2$ che è un equazione di secondo grado da cui puoi ricavare l'altezza, una volta che hai X la sostituisci in (2) e ricavi l, dopodiche usi Pitagora per trovare la base

[astrobaro]

P.S. come dice @mgrau puoi darmi pure del tu, anche perchè sei più grande di me