equazioni del tipo $a^x=x^b$

[Cortexx]

Come si risolve un'equazione di questo tipo:
$2^x=x^32$?
Una volta elevato i 2 membri a $1/32$ ottengo
$2^(x/32)=x$
ma non so procedere oltre!
potrei prendere il logaritmo in base 2 ottenendo:
$x/32=log_2 x$ ma poi???

[ghira]

Numericamente?

[ghira]

Per esempio:

Codice:

#!/usr/bin/perl

$x=0;
while (1) {
$x=2**($x/32);
print $x."\n";
}


risultati:
1
1.02189714865412
1.02238196051486
1.02239269705068
1.02239293482089
1.02239294008653
1.02239294020314
1.02239294020572
1.02239294020578
1.02239294020578

[ghira]

O:

Codice:

#!/usr/bin/perl

$x=2;
while (1) {
$x=32*log($x)/log(2);

print $x."\n";
}


risultati:
32
160
234.301699036396
251.911155382469
255.256678404173
255.865756713634
255.975784634884
255.995632870055
255.999212438693
255.999857973433
255.999974387365
255.999995381097
255.999999167041
255.999999849787
255.999999972911
255.999999995115
255.999999999119
255.999999999841
255.999999999971
255.999999999995
255.999999999999
256
256

e ok adesso che lo sappiamo...

$2^{256}=256^{32}=2^{8*32}=2^{256]$ è anche perfettamente ragionevole. Forse siamo stati insolitamente fortunati in questo caso, però.

Anche la prima soluzione si può trovare in un modo non-numerico?

[otta96]

Devi andare abbastanza per tentativi, in questo caso devi provare a sostituire le potenze di $2$ al posto di $x$ e ottieni $2^(2^n)=2^(32n)$, quindi $2^n=2^5n$, quindi $n$ deve essere una potenza di $2$, $n=2^k$, e hai $2^(2^k)=2^(k+5)$, da cui $2^k=k+5$ e si vede che $k=3$ è una soluzione (se vuoi l'unicità usa la stretta convessità dell'esponenziale), quindi $n=2^3=8$ e $x=2^8=256$.

[ghira]

Ma l'altra soluzione?

[megas_archon]

E' equivalente risolvere \(x\log a = b \log x\), cioè \(\alpha x = \beta \log x\), che quando né \(\alpha\) né \(\beta\) sono nulli (e wlog puoi assumerlo, altrimenti il problema è molto facile) è come dire risolvere \(x = \lambda \log x\), per \(\lambda\ne 0\) reale, cioè "intersecare i grafici". Non esiste una soluzione analitica a questo problema, ma puoi approssimare [una opportuna variazione del] la funzione di Lambert https://math.stackexchange.com/question ... x-a-logx-b

[Cortexx]

Grazie mille. Ero sicuro ci fosse una formula ben precisa che non ricordavo o non avevo mai imparato. Anche io avevo iniziato ad andare a tentativi. consideravo ad esempio che X doveva essere necessariamente maggiore di 32, altrimenti $x^32$ sarebbe risultato maggiore di $2^x$. Però ero convinto che ci fosse una formula universale per risolvere $a^x=x^b$
Grazie mille a tutti.

[ghira]

Per la soluzione minore, vediamo che $1<x<2$ perché $2^1>1^{32}$ e $2^2<2^32$.

Chiamiamo la soluzione $x=1+d$

$2^{1+d}={1+d}^32$

Supponendo che $d$ non sia troppo grande, proviamo:

$2*2^d=1+32d$
$2*e^{d \log 2}=1+32d$
$2*(1+d \log 2)=1+32d$
$1=d(32-2\log 2)$
$d=1/(32-2 \log 2)$
$d=0,033$ circa. Non vicinissimo al valore reale ma potremmo tenere più termini ecc.

[ghira]

Dovendo veramente risolvere problemi di questo tipo farei esattamente quello che ho fatto in questo filone.