Infiniti numerici

[AlessiaDepp]

Ciao a tutti!
Chiedo scusa in anticipo se parlo d’infinito nella sezione di secondaria e non in sezione più indicate ma scrivo in secondaria per evitare di ricevere risposte troppo tecniche e (per me) incomprensibili.

I numeri naturali pari sono tanti quanto sono i numeri naturali dispari.
Ora se prendo in considerazione i soli numeri dispari la cui ultima cifra è 5 (ad esempio: 15,25,35,45,55,65,75,85) e li confronto con tutti i numeri pari cui aggiungo tutti i numeri dispari meno quelli la cui ultima cifra è 5, questi due insiemi infiniti sono uguali?
In pratica,
tutti i numeri pari più tutti i numeri dispari (cui tolgo l’insieme dei dispari la cui ultima cifra è 5)
contro i numeri dispari la cui l’ultima cifra è 5.
I due insiemi sono uguali? (si dice che hanno la stessa cardinalità, vero?)

P.S.: scusate anche per il linguaggio molto informale.

[theras]

Va bene l'informalità, Alessia, ma in questo contesto genera confusione:
parlare di uguaglianza tra insiemi e di loro equicardinalita' non è la stessa cosa,
proprio perché, ad esempio, l'insieme dei numeri naturali pari e quello dei numeri naturali dispari non son affatto uguali,
sebbene siano equicardinali (tra l'altro entrambi lo sono all'intero $NN$..)!
Sistema il quesito alla luce di quest'accorgimento, se puoi:
a me ad esempio verrebbe di rispondere di si, in merito a quella equicardinalità(?) di cui chiedi,
ma non m'azzardo ad articolare la risposta perché non son certo che sia quella la domanda né che l'argomento t'è sufficientemente chiaro.
Saluti dal web.

[AlessiaDepp]

Grazie del consiglio Theras. So anch’io che due insiemi sono uguali se sono composti dagli stessi elementi, come ad esempio $A= (1,2,10)$ e $B= (1,2,10)$, da cui si ha $A=B$.
Quello che domando è se il “numero” totale dei numeri costituiti dai numeri pari + i numeri dispari (cui tolgo i numeri dispari la cui ultima cifra è $5$) ha una “numerosità” maggiore, minore oppure identica
al “numero” totale dei soli numeri dispari aventi come ultima cifra $5$.
Da quanto hai scritto in precedenza, traspare di sì ma non mi azzardo a prenderla per buona senza tua conferma.

[theras]

Di fatto, se ci pensi bene, ti stai chiedendo se $A=NN setminus {10n+5}_(n in NN_0)$ ha la stessa cardinalità di $B={10n+5}_(n in NN_0)$:
la risposta è si, perché sono entrambi in corrispondenza biettiva con l'intero insieme dei numeri naturali
($A$ è un sottoinsieme infinito di $NN$,e come tale è numerabile, e $B$ lo è pure perché l'applicazione $f(n)=10n+5 : NN_0 to B$ è, come "facilmente" verificabile, sia iniettiva che suriettiva)!
Se il linguaggio non t'è chiaro fa un fischio, che sistemo :
saluti dal web.

[Zero87]

Segnalo (magari aiuta)
viewtopic.php?p=745252#p745252
e anche tutto il thread a cui faccio riferimento in quel post.

[AlessiaDepp]

Theras . No, scherzo! Ho capito il concetto.
Presumo che con $A=NN setminus {10n+5}_(n in NN_0)$ indichi tutto $NN$ meno l'insieme $B$
e con corrispondenza biettiva intendi corrispondenza biunivoca.
Grazie!
Grazie Zero87.
Mi piace il link, anche se trovo illogico che il totale di una cosa sia unguale ad una sua parte: però se cosi è stato dimostrato...

[@melia]

... se trovo illogico che il totale di una cosa sia unguale ad una sua parte: però se cosi è stato dimostrato...

È questo che significa lavorare con insiemi infiniti, mia cara.

[Zero87]

... se trovo illogico che il totale di una cosa sia unguale ad una sua parte: però se cosi è stato dimostrato...

È questo che significa lavorare con insiemi infiniti, mia cara.

Eh già!
Mai sentito parlare dell'albergo di Hilbert?
Un posto poco raccomandabile dove capita spesso di dover cambiare stanza...

[theras]

Mi pare d'averlo già detto in passato, ma per sicurezza preferisco eventualmente ripetermi:
la problematica di Alessia mi sembra nascere dalla tradizionale difficoltà a vedere gli insiemi finiti come quelli che non possono esser messi in evidenza con alcun loro sottoinsieme proprio..
Saluti dal web.

[Zero87]

la problematica di Alessia mi sembra nascere dalla tradizionale difficoltà a vedere gli insiemi finiti come quelli che non possono esser messi in evidenza con alcun loro sottoinsieme proprio.

Secondo me è l'esatto contrario, cioè pensare ad un uguale cardinalità di un insieme nel suo complesso e di un suo sottoinsieme proprio.
In fin dai conti va oltre ogni comune logica pensare che i numeri pari sono tanti quanti gli interi o i razionali.

In questo caso con "logica" intendo restando nel concreto dove l'infinito non esiste proprio... In fondo è proprio l'università (un cdl scientifico anzi) a insegnare l'astrattismo matematico, no?