equazioni del tipo $a^x=x^b$

[marcokrt]

Risposta polit... ehm, matematicamente scorretta. Chiedi a WA: https://www.wolframalpha.com/input?i=2%5Ex+%3D+x%5E32. Ti dirà tutto o quasi, a partire dall'equivalenza in forma logaritmica, soluzione intera e risoluzione sintetica usando la funzione \(W\) di Lambert (che consiglio di conoscere se si ha a che fare con relazioni di questo tipo... esponenziali, torri di potenze, tetrazioni...).

Ora faccio però notare che a volte pure WA sbaglia, quindi credo sia utile usarlo giusto all'inizio per capire meglio il tutto e poi per verificare i calcoli, ma (per dire) non mi affiderei mai a lui per dichiarare un risultato in un paper.

Ti propongo pertanto un esercizio carino e secondo me parecchio utile per migliorare (l'ho svolto in Live giusto una settimana fa): considera \(n \in \mathbb{Z}^+\) e calcola quanto vale il limite, per \(n \rightarrow +\infty \), di \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} \) \(n\)-volte (formalmente \(\lim_{n\to\infty} {^n}(\sqrt{2})\) ).
Attenzione, qui si può facilmente concludere che l'unico risultato corretto sia \(2\), ma la procedura usando i logaritmi potrebbe nasconderti la soluzione alternativa, \(4\), che potresti poi escludere (per esempio) con una semplice dimostrazione per induzione su \(n\).

[marcokrt]

P.S. Specifico che ho proposto l'esercizio di cui sopra non a caso, ma perché lo ritengo molto allenante sotto vari aspetti. Intanto sappiamo che la torre di potenze \( x^{x^{{x^{\cdots}}}} \), a base reale, in cui si assume per convenzione associatività da destra (se partissimo dal basso, al contrario, divergerebbe inesorabilmente giacché \(x > 1\) ), converge per \(x\) appartenente all'intervallo chiuso \([e^{-e}, e^{\frac{1}{e}}]\) e notiamo subito come \(\sqrt{2} \) appartenga al suddetto intervallo. Ora però bisogna trovare il valore corretto e un trucchetto che si usa per problemi del genere (ma non solo) è quello di porre \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} = t\) (assumiamo pure \(t \in \mathbb{R}^+ \)) e notare dunque che possiamo riscrivere il tutto come \( (\sqrt{2})^t = t\), lasciando stare chi critica il procedimento rigettando l'assioma della scelta.

Adesso, come vedi, hai un'equazioncina in \(t\) che si può risolvere con i logaritmi e che è molto simile alla tipologia di problema iniziale... ma quella soluzione strana, \(t=4 \), perché viene fuori e come si fa a escluderla osservando numericamente l'evoluzione della serie \( \sqrt{2}, \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}, \ldots \) ?

[obnoxious]

Ti propongo pertanto un esercizio carino e secondo me parecchio utile per migliorare (l'ho svolto in Live giusto una settimana fa): considera \(n \in \mathbb{Z}^+\) e calcola quanto vale il limite, per \(n \rightarrow +\infty \), di \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} \) \(n\)-volte (formalmente \(\lim_{n\to\infty} {^n}(\sqrt{2})\) ).
Attenzione, qui si può facilmente concludere che l'unico risultato corretto sia \(2\), ma la procedura usando i logaritmi potrebbe nasconderti la soluzione alternativa, \(4\), che potresti poi escludere (per esempio) con una semplice dimostrazione per induzione su \(n\).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Bellino. Alla fine si tratta di far vedere che la successione definita per ricorrenza da \(a_0 = \sqrt{2}, \ a_{n + 1} = 2 ^{a_n / 2} \) converge a \( 2 \); la parte """difficile""" e' far vedere che il limite esiste. Per escludere il \(4\) bisogna mostrare (per esempio) che \(0 \le a_n \le 2 \quad \forall n \in \mathbb{N} \).

[marcokrt]

Sì, volendo approfondire un po' il discorso, avevo dedicato una live di 2+ ore all'argomento (se interessa la linko).
Per quanto riguarda una dimostrazione con strumenti elementari (derivate) che il limite per $n\rightarrow +\infty$ di $\sqrt{2}$^^$n$ esiste, rimando all'appendice 1 (pp. 79-81) del mio vecchio ebook gratuito "La strana coda della serie n^n^...^n" (https://www.researchgate.net/publication/365153641_La_strana_coda_della_serie_nnn) in cui provavo, appunto, in modo elementare che $x^{x^{\cdots}}$ converge per $x$ appartenente all'intervallo chiuso $[1, e^{\frac{1}{e}} ]$ (condizione di convergenza sufficiente ma non necessaria).
Ora, essendo $1 < \sqrt{2} < e^{\frac{1}{e}]$, abbiamo risolto .

[obnoxious]

Sì, volendo approfondire un po' il discorso, avevo dedicato una live di 2+ ore all'argomento (se interessa la linko).
Per quanto riguarda una dimostrazione con strumenti elementari (derivate) che il limite per $n\rightarrow +\infty$ di $\sqrt{2}$^^$n$ esiste, rimando all'appendice 1 (pp. 79-81) del mio vecchio ebook gratuito "La strana coda della serie n^n^...^n" (https://www.researchgate.net/publication/365153641_La_strana_coda_della_serie_nnn) in cui provavo, appunto, in modo elementare che $x^{x^{\cdots}}$ converge per $x$ appartenente all'intervallo chiuso $[1, e^{\frac{1}{e}} ]$ (condizione di convergenza sufficiente ma non necessaria).
Ora, essendo $1 < \sqrt{2} < e^{\frac{1}{e}]$, abbiamo risolto .

Nota a margine: \( a= \sqrt{2} \) e' irrazionale e \( b = \sqrt{2} ^ \sqrt{2} \) e' trascendente (https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E ... er_theorem), eppure \( b^a \) e' intero Non ci avevo mai pensato.

[marcokrt]

Nota a margine: \( a= \sqrt{2} \) e' irrazionale e \( b = \sqrt{2} ^ \sqrt{2} \) e' trascendente (https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E ... er_theorem), eppure \( b^a \) e' intero Non ci avevo mai pensato.

Questa osservazione è molto intrigante, non a caso alcuni dei problemi aperti più interessanti per quanto riguarda la tetrazione a base reale e iperesponente naturale sono proprio quelli di dimostrare se esista o meno un $n \in \mathbb{N}-\{0,1,2,3\}$ tale per cui $\pi$^^$n \in \mathbb{N}$ e/o un $m \in \mathbb{N}-\{0,1,2,3,4\}$ tale che $e$^^$m \in \mathbb{N}$ (gli altri esponenti interi non contemplati sono già stati esclusi in modo diretto).